Opérateur de Laplace-Beltrami

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L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition \Delta=\mathrm{div}\ \mathrm{grad}, et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.

Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

Divergence associée à une forme volume[modifier | modifier le code]

Sur une variété différentielle M orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si \omega est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique f\omega, où f est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de \omega par rapport à un champ de vecteurs X. La divergence de X (par rapport à \omega) est l'unique fonction telle que \mathcal L_X\omega = (\mathrm{div}_{\omega}X)\omega.

D'après la formule \mathcal L_X=d\circ i_X+i_X\circ d, on a \mathcal L_X\omega =\mathrm d(i_X\omega). Donc, d'après la formule de Stokes, si X est à support compact,

\int_M(\mathrm{div}_{\omega}X)\omega=\!\int_M\mathrm d(i_X\omega)=0

Si \omega s'écrit en coordonnées locales \theta\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n, on a

L_X\omega = (L_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n+\theta\sum_{i=1}^n\mathrm dx^1\wedge\cdots L(\mathrm dx^i)\wedge\cdots \mathrm dx^n

(car \mathcal L_X est une dérivation).

Si \textstyle X=\sum_{i=1}^n X^i\frac{\partial}{\partial x^i}, on a \mathcal L_X\mathrm dx^i=\mathrm d(\mathcal L_Xx^i)= d\mathrm X^i, d'où l'on tire \textstyle\mathcal L_X\omega = (\mathcal L_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n + \theta\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i} dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n, et finalement, \textstyle\mathrm{div}_{\omega}X= \frac{\mathrm d\theta(X)}{\theta}+\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i}.

Remarque sur l'orientabilité  : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume \omega en son opposée, \mathrm{div}_{\omega}X) ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à \omega. Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.

\mathrm ds^2 \ = \ g_{ij}(x) \ \mathrm dx^i\mathrm dx^j

En coordonnées locales v_g= \sqrt{\det(g_{ij})}\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm  dx^n. D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des g_{ij} est souvent noté g, notamment par ceux qui écrivent \mathrm  ds^2 la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

Gradient associé à une métrique riemannienne[modifier | modifier le code]

Le gradient d'une fonction (disons lisse) f est l'unique champ de vecteurs, noté \nabla f, tel que  g(X,\nabla f)=\mathrm df(X) pour tout champ de vecteurs X. En coordonnées locales,


\nabla f= \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)
\frac{\partial}{\partial x^i}

Ici, g^{ij}(x) est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par

g_{ik}(x)  g^{kj}(x) \ = \ \delta_{i}^j

 \delta_{i}^j est le symbole de Kronecker.

Définition et propriétés de base du laplacien[modifier | modifier le code]

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre \Delta f= \mathrm{div}(\nabla f).

En coordonnées locales,

 \Delta \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \partial_{i} \left[ \sqrt{g} g^{ij}  \partial_{j}  \right]

Si f_1 et f_2 sont C^2 et à support compact on a

\int_Mf_1\Delta f_2v_g= -\int_Mg(\nabla f_1,\nabla f_2)v_g=\int_Mf_2\Delta f_1v_g

Pour le voir, on remarque que si f est une fonction et X un champ de vecteurs,

\mathrm{div}fX=f\mathrm{div}X+\mathrm df(X)=f\mathrm{div}X+g(X,\nabla f)

En appliquant cette relation à f=f_1 et X=\nabla f_2, on obtient


\int_M\bigl(f_1\mathrm{div}\nabla f_2+g(\nabla f_1,\nabla f_2)\bigr)v_g =\int_M\mathrm{div}(f_1\nabla f_2)v_g=0

puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que \Delta est un opérateur formellement autoadjoint sur C^\infty(M), par rapport au produit scalaire global, défini par

\langle f_1,f_2\rangle :=\int_Mf_1f_2v_g

(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie.

\textstyle\langle f,\Delta f\rangle =-\int_Mg(\nabla f,\nabla f)v_g est négatif ou nul. L'opérateur -\Delta est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme -\mathrm{div~grad}). Enfin, si M est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de \R^n, nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Peter Sarnak (en), « Spectra of hyperbolic surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 40,‎ 2003, p. 441-478 (lire en ligne)
  • (en) Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian geometry, Academic Press

Articles connexes[modifier | modifier le code]