Condition aux limites de Neumann

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En mathématiques, une condition aux limites de Neumann (nommée d'après Carl Neumann) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs des dérivées que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

  • Pour une équation différentielle, par exemple :
y'' + y = 0~

la condition aux limites de Neumann sur l'intervalle [a, \, b] s'exprime par :

y'(a) = \alpha \ \text{et} \ y'(b) = \beta

\alpha et \beta sont deux nombres donnés.

  • Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :
\Delta y + y = 0~

\Delta~ est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Neumann sur un domaine \Omega \subset R^n s'exprime par :

\frac{\partial y}{\partial \overrightarrow{n}}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega

f est une fonction scalaire connue définie sur la limite \partial \Omega et \overrightarrow{n} est le vecteur normal à la frontière \partial\Omega. La dérivée normale dans le membre de gauche de l'équation, est définie par :

\frac{\partial y}{\partial \overrightarrow{n}}(x) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}~y(x) \cdot \overrightarrow{n}(x)

Il existe d'autres conditions possibles. Par exemple la condition aux limites de Dirichlet, ou la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et Neumann.