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L'apport de Stirling[2] fut d'attribuer la valeur C= √2π à la constante et de donner un développement de ln(n!) à tout ordre.
Démonstration
La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de De Moivre. La démonstration classique de la formule asymptotique est donnée dans l'article sur les intégrales de Wallis.
Démonstration du résultat de De Moivre
En posant
il suffit de montrer que la suite (un) converge, et que sa limite est non nulle. Or (un) étant à termes strictement positifs pour n ≥ 1, on peut définir :
de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de ln(1+x) en 0 à l'ordre 3, on obtient :
On en déduit que la série∑vn est convergente, donc, en écrivant vnsous la forme de la série télescopique : vn= ln(un + 1) – ln(un), on trouve que la suite ln(un) converge, vers une limite que nous notons L, donc la suite (un) aussi, et vers la limite non nulle exp(L), ce qu'on voulait démontrer.
Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction ln entre 1 et n donne
On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.
On peut même introduire le facteur √2π par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du √2π et on trouve immédiatement le résultat de Stirling.
Généralisation
On peut expliciter l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction Γ ; on trouve :
pour tout entier fixé K ≥ 1, où les nombres B2k sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque Ktend vers l'infini.
La formule précédente est une conséquence, pour le cas particulier d'un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler :
Calculs numériques
Précision de la formule de Stirling
Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n :
Dans √n, si on remplace n par n + 1⁄6 les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper); on peut aussi préférer un encadrement[3] ; enfin on peut prendre la suite A055775 de l'OEIS.
Approximations exploitables pour des machines à calculer
L'approximation
,
ou de façon équivalente
peut être obtenue en réarrangeant la formule étendue de Stirling et en remarquant une coïncidence entre la série des puissances résultante et le développement en série de Taylor de la fonction sinus hyperbolique. Cette approximation est valable jusqu'à plus de 8 décimales pour z ayant une partie réelle supérieure à 8. Robert H. Windschitl l'a suggérée en 2002 pour calculer la fonction gamma avec une bonne précision sur des machines à calculer à programme ou mémoire de registre limité(e)[4].
Gergő Nemes a proposé en 2007 une approximation qui donne le même nombre de chiffres exacts que celle de Windschitl mais qui est bien plus simple[5] :
Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling[6]. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand[7].
Nous obtenons finalement l'approximation suivante :
pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n > 100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).
Une approximation bien plus précise de ln(n!) a été donnée par Ramanujan[8] :
↑(la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730), proposition 28, p.135. La valeur du logarithme décimal de √2π est donnée p. 137.
↑(en) Gergő Nemes, « New asymptotic expansion for the Gamma function », Archiv der Mathematik, vol. 95, no 2, , p. 161-169 (ISSN0003-889X, DOI10.1007/s00013-010-0146-9).
↑Atkins, Chimie Physique, 3e éd., deBoeck, Bruxelles, 2008
↑Jannès, Chimie Physique : Distribution de Boltzmann, HELdB IMC, Bruxelles, 2010