Méthode du point col

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En mathématiques, la méthode du point col (aussi appelé, méthode du col, méthode de la plus grande pente ou méthode de la descente rapide) permet d'évaluer le comportement asymptotique d'une intégrale complexe du type :

I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz\,

lorsque \lambda\rightarrow +\infty. Les fonctions f et g sont analytiques et \mathcal{C} est un chemin d'intégration du plan complexe.

Bien que reposant sur des concepts différents, la méthode du point col est généralement considérée comme l'extension de la méthode de la phase stationnaire aux intégrales complexes. Cette méthode est notamment utilisée en combinatoire analytique et en mécanique statistique.

Idée générale[modifier | modifier le code]

L'idée générale de la méthode consiste à déformer le chemin d'intégration grâce au théorème de Cauchy afin d'utiliser un chemin particulier \gamma, le chemin de descente rapide, sur lequel la partie imaginaire (c’est-à-dire la partie oscillante de l'exponentielle) de la fonction g est constante.


I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz
           =  \int_\mathcal{\gamma} f(z)e^{\lambda u(z)} e^{i \lambda v(z)}  \, dz

L'intégrale peut alors s'évaluer grâce à la méthode de Laplace. En notant z_s le point col de la fonction g, c’est-à-dire le point pour lequel \partial g/\partial z(z_s)=0, on a:

Un exemple classique : la formule de Stirling[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique de n!. On utilise

 n! = \int_0^{\infty}x^n e^{-x} {\rm d} x.

L'intégrande s'écrit  \exp\{ n \ln x - x \} , il y a donc un point-col en x=n. La valeur en x=n de la dérivée seconde du terme dans l'exponentielle est -1/n. Le changement de variables x = n + y\sqrt{n} conduit à étudier l'intégrale

 n! = \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left(1 + \frac{y}{\sqrt n}\right)^n e^{-y \sqrt{n}} {\rm d} y .

et on peut montrer par convergence dominée que l'intégrale du membre de droite converge vers

 \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2} {\rm d} y = \sqrt{2 \pi} .

On obtient donc la formule de Stirling  n! \sim (n/e)^n \sqrt{2 \pi n}.

Applications[modifier | modifier le code]

Mécanique statistiques[modifier | modifier le code]

En mécanique statistique, on passe très souvent de l'équilibre « microcanonique » à l'équilibre « canonique ». Le passage est, dans la limite thermodynamique des grands nombres de particules N, effectué par la méthode du col, dans une manière tout à fait similaire à l'exemple précédent. Schrödinger a été un grand promoteur de ce genre de calculs. Il a étendu la méthode à tous les calculs de transformée de Legendre, en particulier pour introduire le potentiel chimique.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) N. Bleistein et R. A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986 [1975]
  • (en) L. B. Felsen (de) et N. Marcuvitz (en), Radiation and Scattering of Waves, IEEE-Wiley, 1994 [1972], chap. 4
  • (en) E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965