Fonction étagée

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En mathématiques et en analyse :

Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.

Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration :

Propriété caractéristique commune[modifier | modifier le code]

Propriété — Une fonction est simple si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente :

  • La somme, le produit de deux fonctions simples, le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe), sont encore des fonctions simples.
  • L'ensemble des fonctions simples constitue une ℝ (ou ℂ)-algèbre commutative, et a fortiori un espace vectoriel.
  • Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme
f(x)=\sum_{k=1}^n a_k \ {\mathbf 1}_{A_k}(x)
A_1, ..., A_n est une suite finie d'ensembles et a_1, ..., a_n \ est une suite finie de valeurs dans ℝ (ou ℂ).
  • Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l'aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquelle[1]
    • les ensembles Ak sont deux à deux disjoints,
    • les valeurs ak sont distinctes,
    • n = 0 si et seulement si f = 0.
  • Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A},\mu), les ensembles Ak de la représentation canonique sont mesurables.

Densité des fonctions étagées[modifier | modifier le code]

Théorème — 

  1. Toute fonction mesurable positive est limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées.
  2. Toute fonction mesurable est limite simple de fonctions étagées.
  3. Toute fonction mesurable bornée est limite uniforme de fonctions étagées.

Intégration d'une fonction étagée[modifier | modifier le code]

En théorie de la mesure, définir l'intégrale d'une fonction étagée est l'une des premières étapes conduisant à la définition de l'intégrale par rapport à une mesure.

Soit (X, {\mathcal A},\mu) un espace mesuré. Pour tout A\in\mathcal{A}, on définit

\int1_A\,d\mu=\mu(A).

Pour une fonction étagée f(x)=\sum_{k=1}^na_k{\mathbf 1}_{A_k}(x), la linéarité de l'intégrale impose la relation suivante :

\int f\,d\mu=\sum_{k=1}^na_k\mu(A_k).

Pour accorder à cette relation le statut de définition, il convient de s'assurer de sa consistance en vérifiant que l'intégrale d'une fonction étagée est indépendante de sa représentation sous forme de combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment[modifier | modifier le code]

Les fonctions étagées sont à la théorie de l'intégration de Lebesgue ce que les fonctions en escalier sont à l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock.

Par exemple, dans le cas particulier où \scriptstyle\ A_1,....,A_n sont des intervalles contigus de même longueur \Delta, et où les \scriptstyle\ a_i sont les évaluations d'une fonction \scriptstyle\ g au centre des intervalles \scriptstyle\ A_i, l'expression \scriptstyle\ I_n = \Delta \sum_{i=1}^n a_i\ est appelée somme de Riemann[2].

Généralement présentées sur un intervalle donné, les fonctions en escaliers peuvent être prolongées par 0 sur \R entier, ce qui permet de s'affranchir de l'intervalle et de considérer un unique ensemble de fonctions.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Pour une fonction en escalier, les ensembles Ak sont l’union d'un nombre fini d'intervalles.
  2. \scriptstyle\ I_n est d'ailleurs une approximation couramment utilisée pour le calcul numérique d'une intégrale, plus connue sous le nom de méthode du point milieu.