Intégrale de Kurzweil-Henstock

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'intégrale de Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrale, ou intégrale de jauge) a été mise au point indépendamment dans les années 1950 par Jaroslav Kurzweil (en) et Ralph Henstock (en) dans le but de présenter une théorie de l'intégration à peine plus compliquée à exposer que l'intégrale de Riemann, mais aussi puissante que l'intégrale de Lebesgue. Elle est équivalente aux intégrales de Denjoy ou de Perron datant des années 1910, mais dont la présentation était assez lourde et qui étaient tombées en désuétude dans les années 1940.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, la KH-intégrale présente l'avantage que toute fonction dérivée est intégrable, et qu'il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'intégrale impropre. Elle permet d'introduire dès les premières années de l'enseignement supérieur[1] une intégrale dotée de théorèmes puissants et fort proche de l'intégrale de Lebesgue (qu'il est facile d'introduire ensuite comme un cas particulier).

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Soit [a, b] un segment de \R. On appelle subdivision marquée de [a, b] tout couple de familles finies de points (x_0, x_1, \dots, x_n) et (t_1, t_2, \dots, t_n) telles que
    a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\quad\mbox{et}\quad\forall i\in\{1, \dots, n\}, ~ x_{i-1} \leqslant t_i \leqslant x_i.
    On dit que t_i marque le segment [x_{i-1}, x_i].
  • Si \delta est une fonction définie sur [a, b] à valeurs strictement positives, on dit que \delta est une jauge (sur [a, b]), et la subdivision est dite plus fine que \delta si
\forall i\in\{1, \dots, n\},~ t_i - \delta(t_i) < x_{i-1} \leqslant t_i \leqslant x_i < t_i + \delta(t_i).

Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il existe des subdivisions marquées plus fines que cette jauge.

  • Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b], à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable), d'intégrale A, si:\forall\varepsilon > 0 , il existe une jauge \delta telle que, pour toute subdivision (x_i) marquée par (t_i) plus fine que \delta, on a :
    \left| \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})\cdot f(t_i) - A \right| < \varepsilon. A est alors unique et s'appelle l'intégrale de f sur [a, b]. On la note alors \int_a^b f(t) \mathrm dt.
  • La quantité \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})\cdot f(t_i) s'appelle somme de Riemann de f relativement à la subdivision marquée choisie.

On remarque que, si on prend des jauges \delta constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.

  • Dans le cas où f est définie sur un intervalle I qui n'est pas un segment, on dit que f est KH-intégrable d'intégrale A, si
    \forall\varepsilon > 0, il existe une jauge \delta et un nombre \Delta, tels que, pour toute subdivision (x_i) marquée par (t_i), plus fine que \delta sur tout segment contenant I \cap ]-\Delta, \Delta[, on a :
    \left| \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})\cdot f(t_i) - A \right| < \varepsilon.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace vectoriel et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
  • Toute fonction Riemann-intégrable ou Lebesgue-intégrable est KH-intégrable avec la même intégrale ; en particulier, la fonction de Dirichlet valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, n'est pas Riemann-intégrable, mais est KH-intégrable d'intégrale nulle.
  • De même, la fonction \tfrac{\sin(x)}{x} sur ]0, +\infty[ n'est pas Lebesgue-intégrable, mais c'est une intégrale (au sens de Riemann) impropre convergente, et elle est donc KH-intégrable (d'intégrale \pi/2 ; il s'agit de l'intégrale de Dirichlet). Contrairement aux fonctions Lebesgue-intégrables, une fonction peut être KH-intégrable sans que sa valeur absolue le soit.
  • Une fonction f est Lebesgue-intégrable si et seulement si f et |f| sont KH-intégrables (ce qui permet de définir la notion d'ensemble mesurable (pour la mesure de Lebesgue) comme un ensemble dont la fonction caractéristique est KH-intégrable). Il ne suffit pas que |f| soit KH-intégrable pour que f le soit. Si f est KH-intégrable et si |f| est majorée par une fonction KH-intégrable, alors |f| est KH-intégrable.
  • Le théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit :
    • Soit F dérivable sur [a,b] de dérivée f. Alors f est KH-intégrable et \int_a^b f(t) \mathrm dt = F(b) - F(a) .
    • Soit f KH-intégrable. Alors la fonction F : x \to \int_a^x f(t) \mathrm dt\,\! est continue et admet presque partout une dérivée égale à f.
  • La notion d'intégrale impropre est inutile avec la KH-intégrale. En effet, soit f est une fonction définie sur ]a,b] et telle que, pour tout c élément de ]a,b], f est KH-intégrable sur [c,b]. Si \lim_{c \to a} \int f(t) \mathrm dt existe et vaut A, alors f est KH-intégrable sur ]a,b] et son intégrale vaut A.
  • Le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée sont vrais avec la KH-intégrale, ce dernier devenant plus précisément un théorème de convergence encadrée (la raison étant que l'intégrabilité de |f| n'entraîne pas celle de f).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On pourra par exemple lire la présentation de Jean-Pierre Demailly indiquée en référence, utilisée comme support de cours à l'Université Grenoble-I.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]