Série L de Dirichlet

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

En mathématiques, une série L de Dirichlet, est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres.

Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Elle est construite à partir d'un caractère de Dirichlet et, dans le cas où le caractère est trivial, la fonction L de Dirichlet s'identifie avec la fonction zêta de Riemann.

Elle nommée ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, qui l'a utilisée pour démontrer son théorème de la progression arithmétique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient χ un caractère de Dirichlet et s un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1.

  • La série L de Dirichlet pour le caractère χ au point s, notée L(s, χ), est donnée par la formule suivante :
    L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
  • La série L de Dirichlet d'un caractère se prolonge analytiquement sur le plan complexe en une fonction méromorphe avec au plus un pôle d'ordre 1, au point 1. Ce prolongement est appelé fonction L de Dirichlet et est encore noté L(s, χ).

Comportement au point un[modifier | modifier le code]

Le comportement des séries au point 1 est la clé du théorème de la progression arithmétique. C'est la raison pour laquelle Dirichlet définit ces séries.

  • Le point 1 est un pôle de la fonction L pour le caractère principal, mais pas pour les autres caractères[1].
  • Pour tout caractère non principal, le point 1 n'est pas racine de la fonction.

Zéros des fonctions L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = 1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers pairs négatifs. Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = –1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers impairs négatifs.

Hormis l'existence possible d'un zéro de Siegel, beaucoup de résultats similaires à la fonction zêta de Riemann sont connus sur les régions sans zéro de toutes les fonctions L de Dirichlet, à gauche de la droite Re(s) = 1.

L'hypothèse de Riemann généralisée est la généralisation aux fonctions L de Dirichlet de l'hypothèse de Riemann sur la fonction zêta.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

Supposons que χ est un caractère primitif de module k. Définissant

\varepsilon(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),

Γ désigne la fonction gamma et le symbole a est donné par

a=\begin{cases}0&\mbox{si }\chi(-1)=1, \\ 1&\mbox{si }\chi(-1)=-1,\end{cases}

on a l'équation fonctionnelle

\varepsilon(1-s,\overline{\chi})=\frac{\mathrm i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\varepsilon(s,\chi),

τ désigne la somme de Gauss :

\tau(\chi)=\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi\mathrm i n/k).

Remarque : |τ(χ)| = k1/2.

Relation avec la fonction zêta de Hurwitz[modifier | modifier le code]

Les fonctions L de Dirichlet peuvent être écrites comme une combinaison linéaire de fonctions zêta de Hurwitz pour des valeurs rationnelles du paramètre. En fixant un entier k ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo k sont des combinaisons linéaires, avec des coefficients constants, de \zeta(s,q)\,q = m/k et m = 1, 2, ..., k. Ceci signifie que la fonction zêta de Hurwitz pour un rationnel q possède des propriétés analytiques qui sont intimement liées aux fonctions L de Dirichlet. Précisément, soit χ un caractère modulo k. Alors, nous pouvons écrire sa fonction L de Dirichlet sous la forme

L(\chi, s) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}
= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère modulo k = 1 nous donne la fonction zêta de Riemann :

\zeta(s)=\zeta(s,1).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet L-function » (voir la liste des auteurs)

  1. Autrement dit, pour les caractères non principaux : la fonction L associée est une fonction entière. Voir aussi Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique,‎ 2009 (ISBN 978-2-73021563-3, lire en ligne), p. 291, théorème VII.4.4. On peut montrer de plus – mais ce n'est pas utile ici – que la série converge vers son prolongement holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 0, comme toute série de Dirichletan/ns dont l'ensemble des sommes a1 + … + an est borné.
  2. Pour N = 1, on retrouve ainsi que la fonction ζ de Riemann a pour seul pôle le point 1, avec un résidu égal à 1.
  3. Colmez 2009, p. 292

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]