Théorème de Tykhonov

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Le théorème de Tychonoff est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. Il a été publié en 1930 par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch Tikhonov. Il a plusieurs applications en topologie algébrique et différentielle, particulièrement en analyse fonctionnelle, pour la preuve du théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki et le compactifié de Stone-Čech.

Si ce théorème ne choque pas l'intuition dans le cas d'un produit fini, sa validité dans le cas d'un produit quelconque est plus étonnante, et se démontre par une méthode non constructive faisant appel à l'axiome du choix. Dans le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, une forme faible de cet axiome suffit.

Démonstration dans le cas d'un produit dénombrable de métriques[modifier | modifier le code]

Dans le cas du produit dénombrable de métriques, l'idée essentielle est de faire de ce produit un espace lui aussi métrique en le munissant d'une distance appropriée, ce qui permet ensuite d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et le fait que la compacité séquentielle est stable par produits dénombrables.

Démonstration dans le cas général[modifier | modifier le code]

Un espace est compact si seulement s'il est séparé et s'il est quasi-compact (c'est-à-dire s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue). Comme tout produit de séparés est séparé pour la topologie produit, il reste à prouver que tout produit de quasi-compacts est quasi-compact et ce, en utilisant l'axiome du choix ou, ce qui est équivalent, le lemme de Zorn.

Par le théorème d'Alexander sur les prébases[modifier | modifier le code]

Soit (Xi)iI une famille d'espaces quasi-compacts. Une prébase de la topologie sur le produit X est l'ensemble des « i-cylindres » quand i parcourt I, en appelant « i-cylindre » toute image réciproque d'un ouvert de Xi par la projection canonique de X sur Xi. Pour prouver que X est quasi-compact, il suffit, d'après un théorème d'Alexander, de montrer que pour toute partie C de cette prébase, si C ne contient aucun recouvrement fini de X alors C ne recouvre pas X. On peut partitionner C en des ensembles Ci de i-cylindres. Pour tout i, aucune partie finie de Ci ne recouvre X, c'est-à-dire que la projection de Ci ne contient aucun recouvrement fini de Xi. Par quasi-compacité, Xi contient donc un élément xi qui n'est pas recouvert par cette projection. La famille (xi)iI est alors un élément de X non recouvert par C.

Par la théorie des filtres[modifier | modifier le code]

On peut donner une démonstration élégante[1],[2],[3],[4] de ce théorème en utilisant la théorie des filtres.

Par la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés[modifier | modifier le code]

On peut utiliser qu'un espace X est quasi-compact si et seulement si, pour toute famille  \scriptstyle \mathcal{F} de fermés de X dont les intersections finies sont non vides,  \scriptstyle \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F est non vide.

Équivalence avec l'axiome du choix[modifier | modifier le code]

Nous avons précédemment évoqué l'équivalence du théorème de Tychonoff avec l'axiome du choix. Il est important de noter que cette équivalence n'a lieu que si l'on considère la définition anglophone de la compacité, qui correspond à la quasi-compacité francophone (l'espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue mais n'est pas séparé a priori). Dans le cas de la compacité francophone (on impose de plus que l'espace soit séparé), le théorème de Tychonoff est équivalent à une version strictement plus faible de l'axiome du choix : le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole (en).

Pour prouver cette équivalence (dans le cas anglophone), nous allons utiliser une légère variante de la topologie cofinie (preuve due à John L. Kelley) qui possède une propriété très intéressante : tout espace est quasi-compact pour la topologie cofinie.

Soit donc  \scriptstyle  \scriptstyle (A_i)_{i\in I} une famille d'ensembles non vides, nous voulons montrer  \scriptstyle  \prod_{i\in I} A_i \ne \empty. On suppose, quitte à réindexer par un ensemble  \scriptstyle  I' que  \scriptstyle \forall i \in I, i\not\in A_i. Alors, on pose \scriptstyle X_i=A_i\bigcup\{i\}, et on munit  \scriptstyle X_i de la topologie  \scriptstyle \tau_i formée de l'ensemble vide, de tous les ensembles de complémentaire fini, et du singleton  \scriptstyle \{i\} (On vérifiera qu'on a alors bien une topologie, et que  \scriptstyle X_i est alors compact). Par Tykhonov, le produit  \scriptstyle X des  \scriptstyle X_i est compact.

On remarque que, en notant  \scriptstyle p_i la projection sur  \scriptstyle X_i, on a:  \scriptstyle \prod_{i\in I} A_i =\bigcap_{i\in I} p_i^{-1}(A_i). Or X est compact : pour montrer que  \scriptstyle \bigcap_{i\in I} p_i^{-1}(A_i)\ne\empty on va se servir de la contraposée de la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés : si chaque  \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est fermé et que toute intersection finie de  \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est non vide, alors l'intersection des  \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est non vide, ce qui achèvera la preuve.

Or  \scriptstyle \forall i \in Icomme  \scriptstyle A_i est le complémentaire de  \scriptstyle \{i\} ouvert,  \scriptstyle A_i est fermé. Donc par continuité de la projection  \scriptstyle p_i,  \scriptstyle p_i^{-1}(A_i)=A_i\times\prod_{k\ne i} X_i est fermé. De plus soit  \scriptstyle i_1..i_n\in I, alors  \scriptstyle \bigcap_{k=1}^n p_{i_k}^{-1}(A_{i_k})=A_{i_1}\times ..\times A_{i_n} \times \prod _{i\not\in \{i_1..i_n\}}X_i qui est non vide : en effet en choisissant  \scriptstyle a_1..a_n éléments respectifs de  \scriptstyle A_1.. A_n on peut définir  \scriptstyle f:I\rightarrow (\bigcup_{k=1}^n A_{i_k})\bigcup (\bigcup_{i\not\in \{i_1..i_n\}}X_i) par  \scriptstyle f(i_1)=a_1..f(i_n)=a_n et  \scriptstyle f(i)=i si  \scriptstyle i\not\in\{i_1..i_n\} (c'est ici qu'intervient de manière cruciale le passage de  A_i à X_i) on a donc bien la propriété annoncée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chap. I
  2. Georges Skandalis (de), Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001
  3. Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995
  4. Olivier Brinon, Le théorème de Tychonoff

Voir aussi[modifier | modifier le code]