Vecteur nul

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Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif , le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté ou ou encore , ou tout simplement 0.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si et sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors par nullité de et par nullité de , donc .

Propriétés et remarques[modifier | modifier le code]

  • Il est le résultat de la multiplication par le scalaire de n'importe quel vecteur de E.
  • Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire , le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : .
  • L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire est appelée noyau de l'application linéaire f.
  • L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • K étant un corps commutatif, dans l'espace vectoriel , le vecteur nul est l'élément neutre additif de , c'est-à-dire .
  • Dans le K-espace vectoriel Kn, le vecteur nul est le n-uplet est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
  • Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
  • Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
  • Dans l'espace vectoriel des fonctions continues de dans , le vecteur nul est la fonction nulle.
  • Dans l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans un corps commutatif , le vecteur nul est le polynôme nul.
  • Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
  • L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul vers E, qui envoie 0 sur . La dimension de l'espace nul est 0.