Nombre harmonique

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En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls :

Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.

Table des premiers nombres harmoniques[modifier | modifier le code]

Valeur de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Valeur de Hn
Valeur approchée de Hn 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment les suites d'entiers A001008 et A002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … (A067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … (A056903).

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

Les nombres harmoniques en rouge et leur limite asymptotique en bleu.

La suite des nombres harmoniques croît lentement.

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d’Euler-Maclaurin donne :

où les sont les nombres de Bernoulli.

Propriétés[modifier | modifier le code]

est un nombre de Stirling de première espèce ; n'est jamais entier si [1].

Euler a donné la représentation intégrale suivante[2] :

,

conséquence évidente de ce que

À l'aide du changement de variable x = 1−u, on en déduit que

Généralisation[modifier | modifier le code]

On définit le n-ième nombre harmonique généralisé Hn,r d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :

Pour tout r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :

D'autres notations existent, comme H(r)n, prêtant à confusion avec les nombres hyperharmoniques (en)[3].

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.

Exemples d'utilisation[modifier | modifier le code]

Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Graham, Knuth and Patashnik : Concrete Mathematics, p. 275 et ex. 21 p. 311.
  2. (en) C. Edward Sandifer, « How Euler Did It », Mathematical Association of America, série MAA Spectrum,‎ , p. 206 (ISBN 9780883855638, lire en ligne).
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Harmonic Number », MathWorld.