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Nombre harmonique

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En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls :

.

Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.

Table des premiers nombres harmoniques

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Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur de Hn[1] 0[2] 1
Valeur approchée de Hn 0 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers OEISA001008 et OEISA002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … (OEISA067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … (OEISA056903).

Comportement asymptotique

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Les nombres harmoniques en rouge et leur limite asymptotique en bleu.

La suite des nombres harmoniques croît lentement.

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :

où les sont les nombres de Bernoulli.

Propriétés

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Autres expressions

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, où est un nombre de Stirling de première espèce.
[3].

Euler a donné la représentation intégrale suivante[4] :

,

en utilisant l'identité

,

ce qui fournit un prolongement méromorphe . En fait,

,

ψ est la fonction digamma.

Propriétés arithmétiques

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On a les propriétés suivantes concernant la forme irréductible du rationnel Hn :

  • Pour , est un diviseur du PPCM des entiers .
  • Pour , est impair et est pair, donc (en omettant H0 = 0) le seul nombre harmonique entier est H1 = 1 ; d'après le théorème de Kürschák, H1 est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
  • Plus précisément, est divisible par désigne la partie entière[5],[6]; en particulier est divisible par .
  • Pour tout nombre premier , est divisible par p2 et est divisible par  : voir « Théorème de Wolstenholme ».
  • Le postulat de Bertrand permet de démontrer que les trois seuls nombres harmoniques décimaux (cas où les seuls premiers divisant sont 2 et 5) sont H1 = 1, H2 = 1,5 et H6 = 2,45[7].
  • Étant donné un nombre premier  :
    • On conjecture que l'ensemble des indices des numérateurs qui sont divisibles par est fini, et ceci a été démontré pour [8].
    • On a (13 éléments). ; voir la suite A229493 de l'OEIS.
    • On montre que est non multiple de ssi appartient à , ce qui montre que si est fini, alors est multiple de à partir d'un certain rang, égal à  ; par exemple, est multiple de 3 à partir de , est multiple de 5 à partir de , et est multiple de 7 à partir de [8].
    • Prouver la conjecture ci-dessus montrerait que les nombres harmoniques "décimaux en base " (quotients d'un entier par une puissance de ) seraient toujours en nombre fini, puisqu'à partir d'un certain rang serait multiple d'un nombre premier n'intervenant pas dans la décomposition en produits de facteurs premiers de .

Sommes et séries numériques impliquant les nombres harmoniques

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On a[9] :

Plusieurs séries numériques font apparaitre les nombres harmoniques[10],[11],[12]. Parmi les plus connues, on a :

(Euler)

Donald Knuth établit l'égalité suivante[13]: pour toute fonction admettant un développement en série entière , alors :

On peut en déduire la série génératrice des nombres harmoniques :

Généralisation

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On définit le n-ième nombre harmonique généralisé Hn,r d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :

.

Pour tout réel r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :

.

D'autres notations existent, comme H(r)
n
, prêtant à confusion avec les nombres hyperharmoniques[14].

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.

Exemples d'utilisation

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Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes de mathématiques récréatives, comme le problème d'empilage de blocs, le problème de la traversée du désert et le problème de la fourmi sur un élastique, ainsi que dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.

Notes et références

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  1. (en) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik, Concrete Mathematics, , 2e éd. (1re éd. 1989) (lire en ligne), p. 273.
  2. Somme vide.
  3. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  4. (en) C. Edward Sandifer, How Euler Did It, MAA, , 237 p. (ISBN 978-0-88385-563-8, lire en ligne), p. 206.
  5. Graham, Knuth et Patashnik 1994, ex. 6.21 p. 311, corrigé p. 550
  6. Graham, Knuth, Parashnick, Mathématiques concrètes, Thomson publishing, , ex. 6.21 p. 330
  7. (en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, (1re éd. 2003), 304 p. (ISBN 978-0-691-14133-6, lire en ligne), p. 24-25.
  8. a et b (en) Arulappah Eswarathasan, Eeugene Levine, « p-Integral harmonic sums », Discrete Mathematics, vol. 91,‎ , p. 249-257 (lire en ligne)
  9. (en) Junesang Choi et H.M. Srivastava, « Some summation formulas involving harmonic numbers and generalized harmonic numbers », Mathematical and Computer Modelling, vol. 54, nos 9–10,‎ , p. 2220-2234 (DOI 10.1016/j.mcm.2011.05.032)
  10. (en) David Borwein, Jonathan M. Borwein et Roland Girgensohn, « Explicit evaluation of Euler sums », Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 38, no 2,‎ , p. 277-294 (DOI 10.1017/S0013091500019088, lire en ligne)
  11. (en) Vincent Nguyen, « On Some Series Involving Harmonic and Skew-Harmonic Numbers », Journal of Classical Analysis,‎ (DOI 10.48550/arXiv.2304.11614)
  12. (en) Jürgen Spieß, « Some Identities involving harmonic numbers », Mathematics of Computation, vol. 55, no 192,‎ , p. 839-863 (lire en ligne)
  13. (en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming
  14. (en) Eric W. Weisstein, « Harmonic Number », sur MathWorld.