Convolution de Dirichlet

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En mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes[Note 1]. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrement.

Le mathématicien Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet développe ce produit en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique[1].

Définition, exemples et premières propriétés[modifier | modifier le code]

Notations[modifier | modifier le code]

Dans toute la suite de l'article, on notera

Définition[modifier | modifier le code]

La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒ ✻ g définie par :

\forall n\in\N^*\quad (f*g)(n)=\sum_{a,b\in\N^*,ab=n}f(a)g(b)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)

où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n.

Exemples[modifier | modifier le code]

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

L'ensemble F des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau commutatif, c'est-à-dire que — outre le fait que F muni de l'addition est un groupe abélien — la loi interne ✻ est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, et il existe un élément neutre : δ1.

Fonction multiplicative[modifier | modifier le code]

Groupe des fonctions multiplicatives[modifier | modifier le code]

L'anneau des fonctions arithmétiques n'est pas un corps.

En particulier, la convolée de deux fonctions multiplicatives est multiplicative.

Fonction de Möbius[modifier | modifier le code]

La fonction de Möbius μ est définie par l'équation : 1 ✻ μ = δ1. C'est donc l'inverse de la fonction constante 1. Une définition équivalente est que si l'entier n > 0 est un produit de nombres premiers distincts alors μ(n) = (–1)kk est le nombre de ces facteurs premiers, et sinon, μ(n) = 0.

Cet inverse μ de 1 joue un rôle particulier, vis-à-vis de la convolution. Soit f une fonction arithmétique et g la fonction définie par l'égalité g = f ✻ 1. Par convolution par μ, on obtient f = g ✻ μ. Cette expression de f à l'aide de g porte le nom de formule d'inversion de Möbius[3].

Un exemple d'usage de la formule est son application sur l'indicatrice d'Euler. D'après le deuxième exemple ci-dessus, cette fonction φ vérifie l'égalité Id = φ ✻ 1. La formule d'inversion montre que :

\varphi={\rm Id}*\mu\quad\text{ou encore}\quad\forall n\in\N^*\quad\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(n/d)d.

Fonction totalement multiplicative[modifier | modifier le code]

Une fonction ƒ est dite complètement[4] (ou « totalement ») multiplicative si :

f(1)=1\quad{\rm et}\quad\forall n,m \in\N^*\quad f(nm)=f(n)f(m).

Les fonctions complètement multiplicatives jouent un rôle en arithmétique. En théorie algébrique des nombres, les caractères de Dirichlet sont des fonctions totalement multiplicatives. Leur usage est à la base de la démonstration du théorème de la progression arithmétique, à l'origine du développement du concept de la convolution de Dirichlet[5]. En théorie analytique des nombres, les fonctions fs, qui à n associent ns, où s est un nombre complexe, sont utilisées pour étudier la fonction zêta de Riemann[6] ainsi que la fréquence de certains nombres particuliers, comme les nombres premiers.

Si la convolution de deux fonctions complètement multiplicatives est multiplicative, en revanche elle n'est pas nécessairement complètement multiplicative. Par exemple la convolée 1 ✻ 1 est la fonction d qui à n associe son nombre de diviseurs. Cette fonction n'est pas complètement multiplicative : l'image de 2 est égale à 2 et celle de 4 à 3.

Soit f une fonction complètement multiplicative :

  • son inverse pour la convolution est le produit fμ (au sens usuel)[7] ;
  • sa convolée par elle-même est le produit fd ;
  • plus généralement, pour toutes fonctions arithmétiques g et h : (fg) ✻ (fh) = f(g ✻ h).

La première de ces trois propriétés caractérise même, parmi les fonctions multiplicatives, celles qui le sont complètement[8].

Séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Si ƒ est une fonction arithmétique, on définit sa série de Dirichlet génératrice DG(ƒ, ) par :


{\rm DG}(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

pour les arguments complexes s pour lesquels la série converge (s'il en existe).

La multiplication des séries de Dirichlet est compatible avec la convolution de Dirichlet dans le sens suivant :


{\rm DG}(f,s){\rm DG}(g,s)={\rm DG}(f*g,s)

pour tous les s tels que les deux séries du côté gauche convergent et que l'une des deux converge absolument. (Noter que la simple convergence des deux séries à gauche n'implique pas celle de la série à droite.) Ceci ressemble au théorème de convolution sur les transformées de Fourier.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. De manière plus générale, les fonctions arithmétiques sont à valeurs dans un corps commutatif quelconque.
  2. Cette égalité est démontrée dans le § « Arithmétique modulaire » de l'article sur la formule d'inversion de Möbius.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) G. Lejeune Dirichlet, « Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression », Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1837, p. 108-110 — Œuvres complètes, tome 1, 307-312.
  2. a et b Françoise Badiou, « Formule d'inversion de Möbius », Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres, vol. 2,‎ 1960-61, p. 1-7, p. 2.
  3. Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille, p. 77.
  4. Badiou 1960-61, Apostol 1976etc.
  5. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions], 5e éd., 1979, p. 13-14.
  6. Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane, La Fonction Zêta, Paris, Éditions de l'École polytechnique,‎ 2002 (ISBN 978-2-7302-1011-9).
  7. Badiou 1960-61, p. 3.
  8. (en) Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer,‎ 1976 (ISBN 978-0-38790163-3, lire en ligne), p. 36.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer,‎ 2000 (ISBN 978-0-387-95097-6)