Ordre moyen d'une fonction arithmétique

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En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique est une fonction simple approchant la fonction de départ en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction « simple » g, si possible restriction aux entiers d'une fonction continue et monotone, telle qu'on ait  :

Autrement dit (en divisant par n), les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
  • Un ordre moyen de , nombre de diviseurs de n, est
  • Un ordre moyen de , somme des diviseurs de n, est
"Courbe" de la somme des diviseurs , avec l'ordre moyen en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

Meilleur ordre moyen[modifier | modifier le code]

Cette notion peut être présentée à l'aide d'un exemple. De

( est la constante d'Euler-Mascheroni) et

on tire la relation asymptotique

qui suggère que la fonction est un meilleur choix d'ordre moyen pour que simplement .

Références[modifier | modifier le code]