Noms des grands nombres

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
(Redirigé depuis Nom des grands nombres)

Dans les langues occidentales modernes, les noms des grands nombres (supérieurs au trillion[a]) sont des systèmes de dérivation lexicale qui permettent de nommer des nombres au-delà de ce que supporte le langage courant.

Quelques grands nombres ont réellement un sens pour l'humain, et sont d'un usage relativement courant jusqu'au trillion. Au-delà, les noms de grands nombres n'ont plus guère qu'une existence artificielle. De nombreux systèmes ont été proposés pour nommer de très grands nombres, mais aucun ne semble avoir eu d'utilité pratique. Ils ne sont pratiquement jamais utilisés dans un contexte de communication normale, et il n'y a guère d'occurrence de ces mots dans le langage courant.

Même si les mathématiciens préfèrent utiliser la notation scientifique et parler par exemple de « dix puissance cinquante et un » car cela est sans ambigüité, il existe des noms réguliers que l'on peut donner aux grands nombres.

Les grands nombres sont généralement nommés selon deux systèmes : les échelles longue et courte (l'échelle longue étant de loin la plus utilisée, et d'ailleurs la seule à avoir valeur légale en France) : on aura ainsi : billion, trillion, quadrillion, quintillion, ....

Quelques noms ont également été inventés pour des nombres plus grands, par exemple :

  • 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10100 est nommé gogol. Ce terme est d’ailleurs à l’origine du nom d’une société bien connue, Google.
  • Le nombre correspondant à un 1 suivi d'un gogol de zéros, soit 1010100, nommé gogolplex.
  • En anglais, on donne le nom humoristique de zillion à tout très grand nombre, sans préjuger de l'ordre de grandeur concerné.

A titre de comparaison, on peut remarquer que le nombre approximatif d'atomes dans l'univers observable est estimé autour de 1080[1]. Les valeurs supérieures au gogol n'ont donc guère d'utilité pratique. Par ailleurs, les calculatrices programmables n'affichent souvent un résultat que jusqu'au plafond de 1099, retournant un message d'erreur pour les nombres supérieurs.

Usage courant des grands nombres[modifier | modifier le code]

Billet d'un milliard de b.-pengő de 1946, imprimé mais jamais diffusé.
Billet de banque de cent billions de dollar du Zimbabwe (100 × 1012) imprimés en 2009. Noter que la mention « one hundred trillion dollars » correspond à l'usage de l'échelle courte en anglais.

Mille fois mille fait un million ; et mille fois un million fait un milliard (en échelle longue) - mais on peut aussi bien dire mille millions. Le terme « milliard » (Milliarde en allemand, millardo en espagnol, milyar en turc, миллиард en russe, میليار  milyar en arabe...) est courant dans l'usage international, particulièrement dans les discussions du monde de la finance, et ne prête pas à confusion.

Les anglophones (et plus particulièrement les Américains) n'utilisant cependant pas le milliard, mille fois un million fait déjà pour eux un « billion » (et c'est le début de l'échelle courte). Dans un cas comme dans l'autre, le « billion » marque l'entrée dans le territoire des grands nombres artificiels, où l'usage devient hésitant. L’inflation de ces dernières années a d’ailleurs grandement accentué la confusion[b].

L'usage courant ne dépasse guère le milliard : la population mondiale est prévue à 7,3 milliards en 2015 selon les Nations unies ; le PIB mondial est estimé entre 72 et 75 mille milliards de dollars en 2013. Dans le registre courant (dans la presse, par exemple), l'habitude est plutôt d'utiliser des combinaisons, par exemple un milliard de milliards à la place d'un trillion.

Les termes supérieurs de billion ou trillion peuvent cependant se rencontrer, mais dans des contextes exceptionnels. L'exemple le plus évident est celui de l'hyperinflation, où la valeur faciale nécessaire aux échanges commerciaux courants peut dépasser le million. La valeur faciale la plus grande à avoir été imprimée a théoriquement été le billet de 1021 (un trilliard) de pengő, mais elle l'a été sous forme d'un milliard (109) de b.-pengő (billion de pengő, soit 1012), le b.-pengő étant donc considéré comme une unité monétaire en soi. En 2009, le Zimbabwe a en outre imprimé un billet de 100 billions (1014) de dollars du Zimbabwe[2], qui au moment de leur impression ne valait que 30 US$[3].

Quand c'est une quantité physique qui doit être désignée, ce sont les préfixes du Système international qui sont préférentiellement utilisés. Il est plus facile de comprendre « une femtoseconde » que « un billiardième de seconde ». Ces préfixes peuvent également s'appliquer aux unités monétaires[c]. On peut ainsi exprimer des achats importants en k€ (kiloeuros, ou milliers d'euros), les budgets d'une grande ville en M€ (mégaeuros, pour millions d'euros) ou G€ (gigaeuros, à préférer à l'abréviation Md€ qui n'a pas d'existence officielle). Le PIB mondial est ainsi de l'ordre de 80 T$ (téradollars, 1012 $), et la dette publique de la France est de l'ordre de 2 T€ en 2013.

Dans l'usage scientifique, les grands nombres sont exprimés avec la notation scientifique. Avec cette notation, qui existe depuis les années 1800, les grands nombres sont exprimés par un 10 et un nombre en exposant. On dira par exemple : « L'émission en rayons X de cette radio-galaxie est de 1,3 × 1045 ergs (unité du système CGS encore utilisé en astronomie et en chimie)». Le nombre 1045 se lit simplement « dix puissance quarante-cinq » : c'est facile à lire, facile à comprendre, et beaucoup plus parlant qu'un septilliard (en échelle longue, ou « quattuordécillion » en échelle courte), qui présentent de plus l'inconvénient de signifier deux choses différentes, suivant que la convention utilisée est l'échelle longue ou courte.

Même pour des mesures scientifiques extrêmes, il n'est pas nécessaire de disposer de très grands nombres. Ainsi, pour prendre un exemple extrême, si on mesure l'âge de l'univers (4,3 × 1017 s - de l'ordre d'un demi-trillion de secondes) en prenant comme unité le temps de Planck (5,4 × 10−44 s - de l'ordre de cinquante septilliardièmes de seconde), on ne trouve « que » 8 × 1060, soit huit décillions.

Ce n'est donc pas pour leur utilité pratique que les grands nombres sont nommés, mais ils ont de tout temps fasciné ceux qui se sont penchés sur eux en essayant d'appréhender ce que « grand nombre » pouvait bien signifier.

Famille des -llions[modifier | modifier le code]

Système de Nicolas Chuquet[modifier | modifier le code]

En 1475, le mathématicien français Jehan Adam décrit bymillion et trimillion dans ce qui semble être la description d'un boulier, leur donnant leur usage moderne (suivant l'échelle longue) de 1012 et 1018, dans son manuscrit en français médiéval Traicté en arismetique pour la practique par gectouers, à présent conservé à la Bibliothèque Sainte-Geneviève de Paris[4],[5],[6].

« ... item noctes que le premier greton dembas vault ung, le second vault  [sic] cent, le quart vult mille, le Ve vault dix M, le VIe vault cent M, le VIIe vault Milion, Le VIIIe vault dix Million, Le IXe vault cent Millions, Le Xe vault Mill Millions, Le XIe vault dix mill Millions, Le XIIe vault Cent mil Millions, Le XIIIe vault bymillion, Le XIIIIe vault dix bymillions, Le XVe vault  [sic] cent bymillions, Le XVIe vault mil bymillions, Le XVIIe vault dix Mil bymillions, Le XVIIIe vault cent mil bymillions, Le XIXe vault trimillion, Le XXe vault dix trimillions ... »

Chuquet.gif

Peu après, Nicolas Chuquet écrivit en 1484 un livre, Triparty en la science des nombres[7],[8],[9], où l'on trouve le premier exposé de l'usage moderne de grouper les grands nombres par paquets de six chiffres, qu'il séparait par des « virgules supérieures » (on remarquera que les noms employés par Chuquet ne sont pas tout à fait les noms modernes).

« Ou qui veut le premier point peult signiffier million Le second point byllion Le tiers poit tryllion Le quart quadrillion Le cinqe quyllion Le sixe sixlion Le sept.e septyllion Le huyte ottyllion Le neufe nonyllion et ainsi des ault's se plus oultre on vouloit preceder. Item lon doit savoir que ung million vault mille milliers de unitez, et ung byllion vault mille milliers de millions, et [ung] tryllion vault mille milliers de byllions, et ung quadrillion vault mille milliers de tryllions et ainsi des aultres : Et de ce en est pose ung exemple nombre divise et punctoye ainsi que devant est dit, tout lequel nombre monte 745324 tryllions 804300 byllions 700023 millions 654321. Exemple : 7'453248'043000'700023'654321. »

Cependant, l'ouvrage de Chuquet ne fut pas publié de son vivant. Une bonne partie en fut copiée par Estienne de La Roche dans un ouvrage qu'il publia en 1520, L'arismetique[7].

C'est à Chuquet que l'on attribue l'invention du système, mais les premiers termes existaient donc avant lui :

  • Les mots bymillion et trimillion apparaissent en 1475 dans le manuscrit de Jehan Adam.
  • Le terme million existait avant Adam et Chuquet. C'est un mot d'origine probablement italienne, millione, forme intensifiée du mot mille : un million est étymologiquement un gros millier, rappelant les unités de second ordre d'Archimède.
  • La manière dont Adam et Chuquet présentent ces termes suggère qu'ils décrivent un usage préexistant, plutôt qu'une invention personnelle. Il est probable que des termes comme billion et trillion étaient déjà connus à cette époque, mais que Chuquet (expert dans l'art de manier les exposants) en a généralisé le système, inventant les noms correspondant aux puissances plus élevées.

Cette description est celle qui correspond au système dit de l'échelle longue, où les préfixes correspondent aux puissances du million. Le bymillion de Adam (byllion pour Chuquet) correspond donc à 1012, et le trimillion / tryllion vaut 1018.

Chuquet ne précisa que les dix premiers préfixes ; l'extension de son système aux nombres supérieurs a toujours provoqué des variantes dans les solutions retenues pour adapter les noms latins au suffixe -llion.

Formation des noms en -llion et en -lliard[modifier | modifier le code]

Le système de Nicolas Chuquet consiste à faire suivre les préfixes bi-, tri-, ... du suffixe -llion, pour former les noms d'unité successifs. Dans le système original, qui correspond à l'échelle longue, chaque unité vaut 106 fois l'unité précédente.

Les termes correspondants souffrent souvent d'une orthographe mal stabilisée. Ainsi, on peut noter que le décret français introduit l'orthographe quatrillion au lieu du quadrillion traditionnel, sans que l'on puisse savoir si c'est un changement délibéré ou une simple erreur typographique[10].

Les billiards, trilliards, ... d'utilisation moins fréquente, se forment régulièrement sur les préfixes précédents: de manière régulière, un X-illiard vaut mille X-illions.

On a donc, de manière régulière :

Rang Désignation Valeur Déduction Dérivé Valeur
1 mi-llion 106 = 1 000 0001 mi-lliard 109
2 bi-llion 1012 = 1 000 0002 bi-lliard 1015
3 tri-llion 1018 = 1 000 0003 tri-lliard 1021
4 quadri-llion 1024 = 1 000 0004 quadri-lliard 1027
5 quinti-llion 1030 = 1 000 0005 quinti-lliard 1033
6 sexti-llion 1036 = 1 000 0006 sexti-lliard 1039
7 septi-llion 1042 = 1 000 0007 septi-lliard 1045
8 octi-llion 1048 = 1 000 0008 octi-lliard 1051
9 noni-llion 1054 = 1 000 0009 noni-lliard 1057
10 deci-llion 1060 = 1 000 00010   deci-lliard 1063

Ces dix unités permettent de compter jusqu'à 1066, ce qui suffit largement aux usages physiques normaux. C'est le système dont la généralisation avait été recommandée en 1948 à l'occasion de la neuvième conférence générale des poids et mesures (sans effet, les préfixes du Système international d'unités rendant inutile un arbitrage entre échelle longue et courte), et qui a été rendu légal en France par le décret 61-501 du . Ce système régulier est celui dit de l'échelle longue. Les pays anglo-saxons tendent à utiliser un système irrégulier, l'échelle courte, où un « billion » vaut un milliard (109) et un « trillion » vaut un billion (1012), les autres unités étant sans applications pratiques.

Normalisation proposée par Conway et Wechsler[modifier | modifier le code]

Au-delà de dix, les noms sont régulièrement composés en utilisant comme préfixe le terme latin désignant le rang. La difficulté est alors de savoir compter en latin.

Proposé par John Horton Conway et Allan Wechsler[11], ce système régularise et prolonge celui de Nicolas Chuquet. La première étape de son système consiste à normaliser l'écriture des préfixes latins, de 1 à 999 (dans le tableau qui suit, les tirets ne sont destinés qu'à faciliter la lecture, et ne font pas partie du nom de nombre).

No  Unité isolée Unité préfixe Dizaine Centaine
1 mi- un- n deci- nx centi-
2 bi- duo- ms viginti- n ducenti-
3 tri- tre(*)- ns triginta- ns trecenti-
4 quadri- quattuor- ns quadraginta- ns quadringenti-
5 quinti- quinqua- ns quinquaginta- ns quingenti-
6 sexti- se(*)- n sexaginta- n sescenti-
7 septi- septe(*)- n septuaginta- n septingenti-
8 octi- octo- mx octoginta- mx octingenti-
9 noni- nove(*)- nonaginta- nongenti-

Les radicaux des unités signalés par (*) peuvent prendre des consonnes de liaisons, indiquées par des petites lettres supérieures dans le tableau :

  • tre devient tres devant les mots qui sont précédés d'un s en lettre supérieure dans le tableau : ainsi, 303 = trestrecenti.
  • se devient ses devant les mots précédés d'un s : ainsi, 306 = sestrecenti.
  • se devient sex devant les mots qui sont précédés d'un x en lettre supérieure dans le tableau : ainsi, 106 = sexcenti, tandis que 600 = sescenti.
  • septe devient septem devant les mots précédés d'un m, et septen devant les mots précédés d'un n : ainsi, 107 = septencenti et 87 = septemoctoginta.
  • De même, nove devient novem devant les mots précédés d'un m, et noven devant les mots précédés d'un n : ainsi, 109 = novencenti et 89 = novemoctoginta.

Contrairement à l'ordre français, les chiffres sont énoncés dans l'ordre unité, dizaine, centaine ; et quand le chiffre est un zéro, le terme correspondant est simplement omis. Le chiffre unité est pris dans la colonne « unité préfixe » lorsqu'il est suivi de la dizaine ou de la centaine qu'il complète, et dans la colonne « unité isolée » sinon.

Avec cette construction, un 421-illion s'appelle un unvigintiquadringentillion.

Extension proposée par Conway[modifier | modifier le code]

Dans la même publication, Conway propose de construire les radicaux latins pour les nombres supérieurs à mille de la manière suivante :

  • Soit N le préfixe latin recherché pour écrire un N-illion.
  • Regrouper les chiffres de N par blocs de trois chiffres.
  • Utiliser le codage précédent pour chacun des blocs de trois chiffres, ou ni-lli si les trois chiffres sont nuls.
  • Intercaler lli entre chaque bloc ainsi obtenu.

Ainsi, avec cette méthode, un 3_000_102-llion s'appelle un tri-lli-ni-lli-duo-centi-lli-on (103 000 102, soit 10104,771...).

Ce système est ouvert à l'infini, dans le sens qu'il n'y a pas dans ce système de « plus grand nombre nommable ».

Modification proposée par Miakinen[modifier | modifier le code]

Le système Conway-Wechsler est en désaccord avec certains dictionnaires en ce qui concerne quinquadecillion, sedecillion et novendecillion (qui sont mieux connus sous les noms respectifs de quindecillion, sexdecillion et novemdecillion). Miakinen explique[12] que sedecillion et novendecillion sont plus fidèles aux « règles d'assimilation » du latin, et que la version Conway-Wechsler est donc meilleure. Mais il explique également que quinquadecillion devrait être quindecillion parce que le latin pour 15 est « quindecim », et non « quinquadecim », et propose un changement similaire pour tous les noms de Conway-Wechsler impliquant le préfixe quinqua-. En outre, Miakinen a également proposé quelques changements pour s'adapter en français, et a proposé le tableau suivant.

No Unité isolée Unité préfixe Dizaine Centaine
1 mi- un- n déci- nx centi-
2 bi- duo- ms viginti- n ducenti-
3 tri- tré(*)- ns triginta- ns trecenti-
4 quadri- quattuor- ns quadraginta- ns quadringenti-
5 quinti- quin- ns quinquaginta- ns quingenti-
6 sexti- sé(*)- n sexaginta- n sescenti-
7 septi- septé(*)- n septuaginta- n septingenti-
8 octi- octo- mx octoginta- mx octingenti-
9 noni- nové(*)- nonaginta- nongenti-

Les règles particulières pour les préfixes signalés par une étoile (*) sont les suivantes :

  • tré se transforme en tres s'il est suivi par un composant marqué avec s ou x ;
  • sé se transforme en ses s'il est suivi par un composant marqué avec s, en sex s'il est suivi par un composant marqué avec x ;
  • septé (resp. nové) se transforme en septem (resp. novem) s'il est suivi par un composant marqué avec m, en septen (resp. noven) s'il est suivi par un composant marqué avec n.

Enfin, la règle de formation des zillions à partir du millinillion est identique à celle de Conway et Wechsler.

Système d'Archimède[modifier | modifier le code]

Myriade et ordres de numération[modifier | modifier le code]

Savoir nommer les nombres à un chiffre, de un à neuf, ne permet pas de nommer la dizaine, premier nombre à deux chiffres. Au premier ordre, les nombres des dizaines sont généralement de forme irrégulière, mais par exemple régulier en chinois où l'on dit simplement « dix, deux-dix, trois-dix,... neuf-dix ». Il suffit (en théorie) d'une seule nouvelle unité pour doubler le nombre de chiffres des nombres exprimables.

Savoir nommer les nombres à deux chiffres ne permet pas de nommer la centaine, premier nombre à trois chiffres. Ici encore, une nouvelle unité, « cent », doit être introduite au deuxième ordre pour nommer la suite. On peut remarquer que l'unité suivante dans le langage courant, « mille », est en réalité inutile, puisque le nombre de centaines peut être énoncé par un nombre à deux chiffres. De fait, il est courant de dire « dix-sept cent quatre-ving neuf » pour lire 1 789 (l'année de découverte de l'uranium). L'unité « cent » permet en réalité de nommer tous les nombres à quatre chiffres, mais ne permet pas de nommer dix-mille.

De nombreux langages ont un nom dédié pour nommer 10 000. Les chinois disposent de (ou ), les grecs disposaient de μυριάς qui donne en français la myriade, de même sens. De même que précédemment, la myriade est une unité de troisième ordre, qui permet de nommer tous les nombres de huit chiffres, ce qui épuise les besoins quotidiens.

Dans ce système à myriade, les chiffres d'un nombre sont regroupés suivant une hiérarchie binaire. Il n'est besoin d'une unité d'ordre n supplémentaire que pour lire des nombres dont le nombre de chiffres est supérieurs à 2n, et cet ordre permet de lire des nombres jusqu'à 2n+1-1 chiffres. La valeur d'un nombre énoncé se détermine de manière récursive :

  • On identifie l'unité de plus grand ordre, n ;
  • On évalue la valeur de ce qui vient avant cette unité, au plus d'ordre n-1 ;
  • On multiplie ce résultat par la valeur de l'unité, soit  ;
  • On ajoute à ce résultat la valeur de ce qui vient après l'unité.

Ce système à myriade peut être prolongé.

L'arénaire d'Archimède[modifier | modifier le code]

Un des premiers exemples connus est le décompte que fit Archimède du nombre de grains de sable que pouvait contenir l'univers, dans l'Arénaire (Ψάμμιτης). Pour cela, il généralisa le système de numération grec, dont le terme le plus élevé s'appelait la myriade (104), ce qui permettait donc aux Grecs de compter jusqu'à 99 999 999 (dans le système grec, neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf myriades neuf mille neuf cent nonante-neuf, soit 108-1, la myriade de myriades n'ayant pas de nom).

Archimède appela ces nombres nommables en grec courant des « nombres de premier ordre », c'est-à-dire les nombres immédiatement accessibles dans le système grec. Il appela le premier nombre innommable dans ce système, la myriade de myriade, soit 108, l'unité de base des « nombres de deuxième ordre ». En prenant ce nombre comme nouvelle unité, Archimède était capable, dans la numération grecque, de nommer 99 999 999 de ces nombres « de deuxième ordre », donc de compter jusqu'à 108 × 108 – 1 = 1016–1, c'est-à-dire 99 999 999 du second ordre et 99 999 999, plus un.

Le nombre suivant, innommable à l'ordre deux, est le premier nombre du « troisième ordre », parce que inaccessible à l'ordre deux. Ce nombre est à son tour pris comme l'unité des « nombres de troisième ordre », et ainsi de suite. Archimède continua sa construction logique pour tous les « ordres » qui pouvaient être nommés en grec, c’est-à-dire jusqu'au nombre « d'ordre 99 999 999 », fin naturelle de cette première série de désignations. Mais, comment nommer le nombre suivant, soit  ?

Archimède prolongea cette construction en prenant à nouveau ce nombre comme unité de base d'un superordre, ce qui lui permit d'étendre le système de dénomination jusqu'à

.

L'ordre de grandeur de ce superordre est incroyablement immense. S'agissant de rendre compte des états physiques du moindre des plus petit volume d'espace-temps ayant un sens physique, l'hypothèse des grands nombres exprimée en terme d'unité de Planck montre que le nombre de « grains de Planck » (voxel élémentaire, soit volume de Planck x temps de Planck) à examiner, pour rendre compte de tout l'univers observable et de toute son histoire (à une précision par nature inaccessble à la mesure), n'est au plus « que » de l'ordre de 10240, c'est-à-dire qu'il est physiquement impossible d'observer quelque chose de plus nombreux. En comparaison, la base du premier superordre d'Archimède, 10800 000 000, dépasse ce nombre d'un facteur 10799 999 760 (!).

À ce point, Archimède se servit de ce système de désignation pour estimer le nombre de grains de sable que pouvait contenir l'univers, parce que « innombrable comme les grains de sable » représentait pour les Grecs l'exemple archétypal de quelque chose qui ne pouvait pas être compté. Il trouva comme ordre de grandeur seulement « mille myriades du huitième ordre » (soit 1063, ou 1 décilliard). Dans le monde grec, le second ordre n'était donc pas nécessaire.

Système Myriade[modifier | modifier le code]

Proposé par Donald E. Knuth, ce système est une autre manière de généraliser les myriades grecques: au lieu que chaque « ordre de grandeur » corresponde à un regroupement de quatre chiffres, comme pour Archimède, Knuth considère que chaque ordre de grandeur peut avoir deux fois plus de chiffres que le précédent.

Au-delà des noms où l'on reconnaît la présence du « y » caractéristique, il utilise des séparateurs différents pour des groupes de 4, 8, 16, 32 ou 64 chiffres (respectivement la virgule, le point-virgule, et les deux points, l'espace et l'apostrophe ; le séparateur décimal reste le point dans cette notation). Ils sont formés sur des puissances de deux successives des puissances de dix mille (myriade). Ce système permet d'écrire et nommer des nombres énormes (le premier grand nombre qui ne peut être exprimé avec les dénominations classiques est l'octyllion, la mille-vingt-quatrième puissance de la myriade). Toutefois, le nom « myriade » reste le plus connu car il correspond à une dénomination historique.

Toutefois les noms sont rarement utilisés car ils sont souvent homonymes et homophones d’autres nombres (y compris en anglais où ces noms ont été définis), et créent de nouvelles ambiguïtés avec les échelles courtes et longues.

Valeur Nom Notation
100 Un 1
101 Dix 10
102 Cent 100
103 Mille 1000
104 Myriade 1,0000
105 Dix myriades 10,0000
106 Cent myriades 100,0000
107 Mille myriades 1000,0000
108 Myllion 1;0000,0000
1012 Myriade de myllions 1,0000;0000,0000
1016 Byllion 1:0000,0000;0000,0000
1024 Myllion de byllions 1;0000,0000:0000,0000;0000,0000
1032 Tryllion 1 0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000
1064 Quadryllion 1'0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000 0000,0000;0000,0000:0000,0000;0000,0000
10128 Quintyllion 1 suivi de 128 zéros
10256 Sextyllion 1 suivi de 256 zéros
10512 Septyllion 1 suivi de 512 zéros
101 024 Octyllion 1 suivi de 1 024 zéros
102 048 Nonyllion 1 suivi de 2 048 zéros
104 096 Decyllion 1 suivi de 4 096 zéros
108 192 Undecyllion 1 suivi de 8 192 zéros
1016 384 Duodecyllion 1 suivi de 16 384 zéros
1032 768 Tredecyllion 1 suivi de 32 768 zéros
1065 536 Quattuordecyllion 1 suivi de 65 536 zéros
10131 072 Quindecyllion 1 suivi de 131 072 zéros
10262 144 Sexdecyllion 1 suivi de 262 144 zéros
10524 288 Septendecyllion 1 suivi de 524 288 zéros
101 048 576 Octodecyllion 1 suivi de 1 048 576 zéros
102 097 152 Novemdecyllion 1 suivi de 2 097 152 zéros
104 194 304 Vigintyllion 1 suivi de 4 194 304 zéros
104 294 967 296 Trigintyllion 1 suivi de 4 294 967 296 zéros
104 × 240 Quadragintyllion
104 × 250 Quinquagintyllion
104 × 260 Sexagintyllion
104 × 270 Septuagintyllion
104 × 280 Octogintyllion
104 × 290 Nonagintyllion
104 × 2100 Centyllion
104 × 21 000 Millillion
104 × 210 000 Myrillion

Autres systèmes de grands nombres[modifier | modifier le code]

Système Gillion[modifier | modifier le code]

Proposé par Russ Rowlett, basé sur les préfixes numériques grecs, et les puissances de mille :

Valeur Expression Nom
103 10001 Mille
106 10002 Million
109 10003 Milliard
1012 10004 Tetrillion
1015 10005 Pentillion
1018 10006 Hexillion
1021 10007 Heptillion
1024 10008 Oktillion
1027 10009 Ennillion
1030 100010 Dekillion
Valeur Expression Nom
1033 100011 Hendekillion
1036 100012 Dodekillion
1039 100013 Trisdekillion
1042 100014 Tetradekillion
1045 100015 Pentadekillion
1048 100016 Hexadekillion
1051 100017 Heptadekillion
1054 100018 Oktadekillion
1057 100019 Enneadekillion
1060 100020 Icosillion
Valeur Expression Nom
1063 100021 Icosihenillion
1066 100022 Icosidillion
1069 100023 Icositrillion
1072 100024 Icositetrillion
1075 100025 Icosipentillion
1078 100026 Icosihexillion
1081 100027 Icosiheptillion
1084 100028 Icosioktillion
1087 100029 Icosiennillion
1090 100030 Triacontillion


Le système Gogol[modifier | modifier le code]

Les termes gogol et gogolplex furent inventés par Milton Sirotta, neveu du mathématicien Edward Kasner, qui les introduisit dans une publication de 1940, Mathematics and the Imagination[13] où il décrit cette invention :

« Le terme « gogol » a été inventé par un enfant, le neveu du Dr Kasner, alors âgé de huit ans. On lui avait demandé d'imaginer un nom pour un nombre très grand, par exemple un 1 suivi d'une centaine de zéros. Il était sûr que ce nombre n'était pas infini, et tout aussi certain qu'il n'avait pas de nom propre. Il suggéra le terme « gogol[d] », et dans la foulée en proposa un autre pour un nombre encore plus grand: le « gogolplex ». Un gogolplex est beaucoup plus grand qu'un gogol, mais reste fini, ce que l'inventeur du terme fit rapidement remarquer. Au départ, la définition proposée était un 1, suivi d'autant de zéro qu'on pourrait en écrire sans tomber de fatigue. C'est certainement ce qui risquerait d'arriver si quelqu'un essaye d'écrire un gogolplex, mais deux personnes différentes seraient fatiguées au bout d'un temps différent, et ça n'aurait pas de sens que Carnera soit un meilleur mathématicien que Einstein simplement parce qu'il a une meilleure endurance. Pour cette raison, le gogolplex est un nombre spécifique, mais avec tellement de zéros derrière son « un » que le nombre de zéros est lui-même d'un gogol. »

Par la suite, Conway et Guy[11] ont suggéré comme extension qu'un N-plex corresponde par convention à eN. Avec ce système, un gogol-plex vaut bien egogol, et un gogolplexplex vaut egogolplex.

D'autres auteurs ont proposé les formes gogolduplex, gogoltriplex, etc., pour désigner respectivement egogolplex, egogolduplex, et ainsi de suite.

Valeur Nom
10100 Gogol
1010100 Gogolplex
e−N N-minex
eN N-plex

Système chinois[modifier | modifier le code]

Les Chinois disposent classiquement des unités de un à neuf, puis des marqueurs dix (, shí ), cent (, bǎi), mille (, qiān) et myriade (, wàn). Ils présentent la particularité de compter ensuite régulièrement par myriades (dix mille = , dernière unité régulière). Dans cette langue, les tranches supérieures s'établissent de quatre en quatre chiffres, au lieu de trois en trois (échelle courte) ou six en six (échelle longue) comme dans les langues occidentales. Ces unités et marqueurs permettent de compter jusqu'à 108, soit cent millions, ce qui est largement suffisant pour les besoins courants.

De manière consensuelle, au delà de mille les douze ordres des grandes quantités correspondent à la série[14] :

  1. / : la myriade, la troupe militaire des « scorpions » ;
  2. /亿 : autant qu'il vous plaira ;
  3.  : un nombre de craquelures « très nombreuses », sur une surface argileuse craquelée ;
  4. / : une accumulation artificielle (volontaire), un grand nombre  ;
  5.  : probablement, la fin de la terre , la levée de terre qui marque une frontière ;
  6.  : les gerbes de céréale récoltées ;
  7.  : la récolte de céréales ;
  8. / : eau qui se déverse ;
  9. / : cours d'eau dans un ravin étroit ;
  10.  : droit, parfait ;
  11. / remplir, terminer ;
  12.  : achèvement, extrême.

Cette série de grande quantité fait partie des nombreuses séries chinoises de dix ou douze termes, séquentielles ou cycliques, et a un sens littéraire plus qu'arithmétique : chaque ordre est consensuellement « encore plus grand » que le précédent, mais sans que cette progression soit numériquement déterminée. Au-delà des nombres concrets permettant de compter des choses, ce sont des nombres supra-naturels que le commun des mortels n'utilise pas. L'interprétation de ces ordres des grandes quantités a été de ce fait variable.

  • L'interprétation usuelle moderne est que chaque ordre désigne l'un des blocs de quatre chiffres, et est donc une myriade de fois le précédent. Les unités progressent donc de 104 en 104, chaque unité des grandes quantités permettant de désigner l'un des blocs de quatre chiffres.
  • Pour l'interprétation médiévale minimaliste, chaque caractère a simplement la valeur du précédent multiplié par dix. La série prolonge donc simplement celle des « dix, cent, mille », sans solution de continuité pour de grandes unités.
  • Une autre interprétation médiévale considère (comme actuellement) que vaut 108, mais est le véritable point de départ des ordres de grandes quantités, système dans lequel n'est qu'un jalon intermédiaire dans une lecture par blocs de huit chiffres. Dans ce système, comme actuellement, n'est pas supra-naturel mais peut avoir des applications pratiques.
  • Enfin, une interprétation de type « système d'Archimède » considère que chaque ordre est le carré de l'ordre précédent.
Normale Financière Pinyin Usuel Minimaliste Par 108 Archimède
/ wàn 104 104 104 104
亿 / 108 105 108 108
zhào 1012
Signifie aussi méga.
106 1016 1016
(ou /) jīng 1016 107 1024 1032
gāi 1020 108 1032 1064
1024 109 1040 10128
ráng 1028 1010 1048 10256
gōu 1032 1011 1056 10512
jiàn 1036 1012 1064 101 024
zhèng 1040 1013 1072 102 048
/ zài 1044 1014 1080 104 096
1048 1015 1088 108 192

En réalité, seuls les deux premiers termes sont d'usage effectif. Les caractères chinois pour les puissances de 10 000 au-delà de 100 millions (亿 ; yì) sont très rarement utilisés : pour 1016, on préfère utiliser 亿亿 (yì yì) ou « cent millions de fois cent millions » plutôt que 京 (jīng) qui signifie « capitale » pour le Chinois moyen. À noter que 1 se dit yī et 100 millions se dit yì.

Il existe aussi un système de numération folklorique pour les très grands nombres ; par exemple, 不可説不可説不可説 (« indicible-indicible-indicible ») représente 1054 925 173 615 192 502 615 548 162 549 221 958 154.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En anglais "quintillion", voir Échelles longue et courte.
  2. Par ailleurs, les Américains utilisant "trillion" pour "billion", ils devraient accepter volontiers T$ pour billion de dollars. Le hasard fait parfois bien les choses!
  3. Cette application est théoriquement obligatoire en France depuis l'arrêté du 13 brumaire an IX, car le système métrique comprenait à l'époque le franc or.
  4. Plus tard a inspiré le nom pour le moteur de recherche Google™.

Références[modifier | modifier le code]

  1. https://www.science-et-vie.com/ciel-et-espace/sait-on-combien-il-y-a-d-atomes-dans-l-univers-6154
  2. « Un billet de cent mille milliards de dollars au Zimbabwe », Le Monde avec AFP, (consulté le ).
  3. « Zimbabwe rolls out Z$100tr note », BBC News, (consulté le ).
  4. (frm) Jehan Adam, « Traicté en arismetique pour la practique par gectouers... (MS 3143) », Bibliothèque Sainte-Geneviève, Paris,‎ .
  5. « HOMMES DE SCIENCE, LIVRES DE SAVANTS A LA BIBLIOTHÈQUE SAINTE-GENEVIÈVE, Livres de savants II », Traicté en arismetique pour la practique par gectouers…, Bibliothèque Sainte-Geneviève, (consulté le ).
  6. Lynn Thorndike, « The Arithmetic of Jehan Adam, 1475 A.D », The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 33, no 1,‎ , p. 24 (JSTOR 2298533).
  7. a et b (frm) Nicolas Chuquet, « Le Triparty en la Science des Nombres par Maistre Nicolas Chuquet Parisien », Bulletino di Bibliographia e di Storia delle Scienze matematische e fisische, Bologna, Aristide Marre, vol. XIII, no 1880,‎ , p. 593–594 (ISSN 1123-5209, lire en ligne, consulté le ).
  8. (frm) Nicolas Chuquet, « Le Triparty en la Science des Nombres par Maistre Nicolas Chuquet Parisien », www.miakinen.net, (consulté le ).
  9. Graham Flegg, « Tracing the origins of One, Two, Three. », New Scientist, Reed Business Information, vol. 72, no 1032,‎ 23–30 december 1976, p. 747 (ISSN 0262-4079, lire en ligne, consulté le ).
  10. Journal officiel du 20 mai 1961, p. 4587.
  11. a et b The Book of Numbers, J. H. Conway and R. K. Guy, New York: Springer-Verlag, 1996, pp. 15–16. (ISBN 0-387-97993-X).
  12. Olivier Miakinen, « Les zillions selon Conway, Wechsler... et Miakinen », 21 mai, 2003 (consulté le ).
  13. James Newman et Edward Kasner, Mathematics and the imagination, New York, Simon and Schuster, .
  14. Couvreur, Dictionnaire classique de la langue chinoise, Kuangshi press 1966.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]