Séparation des convexes

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Un exemple de séparation stricte.

Étant donnés deux convexes d'un même plan ne se rencontrant pas, il est toujours possible de subdiviser le plan en deux demi-plans de sorte que chacun contienne entièrement l'un des convexes. Il en est de même en dimension 3, la séparation des convexes étant alors réalisée par un plan. Plus généralement, on peut en faire autant en dimension finie quelconque à l'aide d'un hyperplan. Sous une hypothèse convenable de compacité on peut même garantir une « séparation stricte », assurant que chacun des deux convexes reste à distance de l'hyperplan qui les sépare ; dans de bonnes conditions la séparation peut également être assurée dans certains espaces vectoriels topologiques de dimension infinie.

Un cas particulier remarquable est celui où l'un des convexes ne contient qu'un point, choisi sur la frontière de l'autre. Dans ce cas, les hyperplans séparants sont appelés hyperplans d'appui du convexe.

Position du problème[modifier | modifier le code]

On se place dans un espace affine E (de dimension finie), ou dans un espace vectoriel normé sur .

Étant donné un hyperplan affine H de E, il existe une forme linéaire (unique à un facteur multiplicatif près) qui puisse servir d'équation à , c'est-à-dire pour laquelle il existe un réel tel que . De plus, si est fermé, est continue. On pourra dès lors définir les deux « demi-espaces » limités par comme les ensembles et [1].

Étant données deux parties et de , on dit alors que sépare et lorsque, dans la subdivision de par en deux demi-espaces et , l'un des ensembles et est inclus dans et l'autre dans . Dans cette définition (séparation au sens « large »), on n'interdit pas à et à de contenir des points de , voire de se rencontrer l'un l'autre à condition que ce soit sur .

Sous certaines hypothèses, on peut obtenir des résultats de séparation plus précis et conclure que et sont de part et d'autre de , dans les demi-plans stricts qu'il limite. De fait, on peut parfois faire encore un peu mieux, d'où la définition technique suivante : on dit que d'équation sépare strictement et lorsqu'il existe un tel que l'un des ensembles et soit inclus dans le demi-espace et l'autre dans le demi-espace [2].

Théorèmes de séparation au sens large[modifier | modifier le code]

Deux jeux d'hypothèses permettent d'assurer la séparation au sens large. Le premier des théorèmes qui suit est parfois appelé « première forme géométrique du théorème de Hahn-Banach »[3].

Théorème — Soit E un espace normé, A et B deux convexes de E non vides et disjoints. On suppose A ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé séparant A et B.

Théorème — Soit E un espace affine de dimension finie, A et B deux convexes de E non vides et disjoints. Alors il existe un hyperplan séparant A et B.

En revanche, en dimension infinie, on ne peut pas toujours construire un hyperplan fermé de séparation large : il existe un exemple de deux convexes fermés non vides et disjoints mais qui ne peuvent être séparés par un hyperplan fermé[4].

On pourra remarquer que, dans le premier théorème, le convexe ouvert est nécessairement inclus dans un demi-espace strict. En particulier lorsque A et B sont tous les deux ouverts, on a réalisé une séparation où chacun des convexes est inclus dans un des demi-espaces stricts : c'est mieux qu'une séparation large, mais moins bien qu'une séparation stricte au sens qui a été choisi dans cet article.

Principe de la démonstration[modifier | modifier le code]

Le premier théorème ci-dessus découle assez rapidement de la version de la « forme géométrique du théorème de Hahn-Banach » donnée dans l'article Théorème de Hahn-Banach. L'idée supplémentaire nécessaire pour conclure est de considérer l'ensemble c'est-à-dire l'ensemble des , où varie dans et dans . On vérifie sans mal que c'est un convexe ouvert . On peut alors appliquer le théorème mentionné à l'article Théorème de Hahn-Banach à ce convexe et à , qui fournit un hyperplan  ; il est alors facile de constater que parmi les hyperplans parallèles à l'un répond à la question.

Théorème de séparation stricte[modifier | modifier le code]

Ce résultat est la « deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach »[5] :

Théorème — Soit un espace normé, et deux convexes de non vides et disjoints. On suppose fermé et compact. Alors il existe un hyperplan fermé séparant strictement et .

Une application particulièrement importante en est la représentation des convexes fermés comme intersection de demi-espaces fermés. Lorsqu'on intersecte des demi-espaces fermés, le résultat de l'opération est de façon évidente un convexe fermé (puisque tant la convexité que la fermeture sont conservées par intersection, même infinie). Il se trouve que la réciproque est vraie[6] :

Corollaire (théorème d'Eidelheit[7]) — Dans un espace normé, tout convexe fermé est l'intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent.

Principes des démonstrations[modifier | modifier le code]

Pour le théorème, on remarque dans un premier temps que la distance qui sépare et est strictement positive (c'est toujours le cas pour la distance entre un fermé et un compact dans un espace métrique). On pose et on considère (resp. ), ensembles des points à distance de (resp. ), qui sont encore convexes mais sont eux des ouverts, tout en restant disjoints. On applique à ces ouverts le théorème de séparation au sens large, et on vérifie enfin sans mal que l'hyperplan obtenu sépare de fait strictement de .

Pour le corollaire, on prend un point quelconque du complémentaire du convexe fermé . En appliquant le théorème à et on obtient un demi-espace fermé contenant mais auquel n'appartient pas, ce qui prouve que n'est pas dans l'intersection des demi-espaces fermés contenant . L'inclusion non évidente est ainsi prouvée.

En dimension finie, on peut aussi démontrer cette forme du théorème de séparation en se reposant sur le théorème de projection sur un convexe fermé. En effet si est fermé et est un singleton (contenant un point extérieur à ), on peut trouver un hyperplan les séparant en projetant sur en un point puis en utilisant l'hyperplan perpendiculaire à passant par le milieu de ce segment. Dans le cas général, on se ramène à cette situation particulière en séparant le fermé de , comme dans la preuve du théorème de séparation large[8].

Hyperplans d'appui[modifier | modifier le code]

Un exemple d'unicité de l'hyperplan d'appui
Un exemple de non-unicité de l'hyperplan d'appui

Un cas particulièrement important est celui où B est un singleton contenant un seul point , choisi sur la frontière de .

Commençons par une définition : pour partie d'un espace vectoriel sur et élément de , on dit qu'un hyperplan affine est un hyperplan d'appui de en lorsque appartient à et est inclus dans un des demi-espaces limités par .

On peut alors énoncer[9] :

Théorème — Dans un espace affine de dimension finie, soit un convexe fermé et un point de la frontière de . Il existe au moins un hyperplan d'appui de en .

Pour le prouver, on se débarrasse d'abord du cas dégénéré où la dimension de serait plus petite que celle de l'espace ambiant : si c'est ainsi, n'importe quel hyperplan affine contenant l'enveloppe affine de convient. Une fois ce cas éliminé, l'intérieur n'est pas vide et on peut appliquer le théorème de séparation à l'ouvert et au singleton , qu'on sépare par un hyperplan . Comme est l'adhérence de son intérieur (voir l'article Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe), il est lui aussi inclus dans un des demi-espaces délimités par , et cet hyperplan répond donc au cahier des charges.

Les hyperplans d'appui sont des outils fondamentaux pour classifier les points au bord d'un polyèdre convexe en sommets, points des arêtes, points des faces, etc... et plus généralement pour distinguer et étudier des points et parties remarquables de la frontière d'un convexe.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 4-5 dans l'édition de 1983.
  2. La définition varie selon les sources. Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] par exemple requiert seulement que et soient de part et d'autre de , dans les demi-plans stricts qu'il limite.
  3. Ainsi dans Brezis, op. cit., qui a servi de source ; ce sont les théorèmes I-6 et la remarque 4, p. 5 et 7.
  4. Brezis, op. cit. remarque 4, p. 7.
  5. Brezis, op. cit., th. I.7, p. 7.
  6. Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], proposition 11.5.5, tome 3, p. 45 dans l'édition de 1978 (l'énoncé n'est donné dans cette source qu'en dimension finie).
  7. (de) M. Eidelheit, « Zur Theorie der konvexen Mengen in linearen normierten Raümen », Studia Mathematica, vol. 6,‎ , p. 104-111
  8. Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056) p.51-53
  9. Berger, op. cit., Prop. 11.5.2, tome 3, p. 43.