Inégalité de Hölder

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En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp, comme les espaces de suites p. C'est un généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient

  • S un espace mesuré,
  • p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »
  • f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S).

Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement :

Plus généralement[1], pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q.

De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|p = β|g|q p.p.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Inégalité de Cauchy-Schwarz 

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie 

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites 

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk) sont respectivement dans les espaces de suites p et q, alors la suite « produit terme à terme » (xk yk) est dans 1.

Cas extrémal[modifier | modifier le code]

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et fLp(S).

  • Si p < +∞, alors
  • Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie[3]), alors

Remarques sur le cas p = +∞

  • Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de définie par xk = 1 – 2k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans 1,
  • Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que f = 1.

Applications[modifier | modifier le code]

  • L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces Lp associés à une mesure finie de masse totale M :
    (Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
  • Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Lp si p ≥ 1.
  • Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de Lp est Lq (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞[5], et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation[modifier | modifier le code]

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p1, …, pn ≤ +∞ tels que

et n fonctions fkLpk(S). Alors, le produit des fk appartient à Lr(S) et

De plus, lorsque tous les pk sont finis, il y a égalité si et seulement si les |fk|pk sont colinéaires p.p.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs).

  1. Si s < 1, ║ ║s n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas.
  2. Voir par exemple (pour la seconde méthode) Bernard Maurey, « Intégration et Probabilités (M43050), cours 15 », sur université Paris VII - Diderot, ou (pour les deux) cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  3. Comme la mesure de dénombrement sur un ensemble au plus dénombrable ou la mesure de Lebesgue sur ℝn.
  4. Maurey 2010.
  5. (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, (ISBN 9780521603720, lire en ligne), p. 120, remarque : « Curieusement, la propriété que chaque élément de Lp* atteint sa norme est équivalente au fait que Lp est réflexif, sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual Lp*  ! ».

Bibliographie[modifier | modifier le code]