Théorème de Radon (géométrie)

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les autres significations, voir Théorème de Radon.

Le théorème de Radon, ou lemme de Radon, sur les ensembles convexes affirme que tout ensemble contenant éléments de admet une partition en deux parties dont les enveloppes convexes et se rencontrent.

Énoncé et définitions[modifier | modifier le code]

Tout ensemble contenant éléments de admet une partition en deux parties dont les enveloppes convexes et se rencontrent. Une telle partition est alors appelée partition de Radon, et un point de l'intersection des enveloppes est appelé point de Radon (il ne s'agit pas a priori d'un des points ).

Exemple[modifier | modifier le code]

Prenons l'exemple . Dans ce cas l'ensemble est constitué de quatre points. La partition de peut donner un ensemble de trois points et un singleton, les premiers formant un triangle contenant le dernier point. Ou alors la partition consiste en deux ensembles constitués chacun de deux points, les segments s'intersectant en un point.

Preuve[modifier | modifier le code]

On suppose que . Considérons le système :

d'inconnues réelles  : il équivaut à un système linéaire de équations à inconnues , puisque la première équation, si on la développe en un système pour chaque composante des (vecteurs dans ), se transforme aussitôt en équations linéaires traditionnelles. Il existe donc une solution non nulle de ce système. Fixons une telle solution. Posons alors :

Puisque la somme des est nulle alors que les ne sont pas tous nuls, et ne sont pas vides.

La partition requise de est alors et . En effet, il est immédiat de vérifier à partir du système, que :

et cette formule fournit un point commun aux enveloppes convexes de et de .

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce résultat a été publié pour la première fois par Johann Radon en 1921[1]. Il y apparaît comme résultat intermédiaire dans la preuve du théorème de Helly, ce qui explique la dénomination courante de lemme[2].

Théorème de Tverberg[modifier | modifier le code]

Helge Tverberg (de) a démontré en 1966[3] une généralisation de ce théorème pour des partitions de en r sous-ensembles. Le théorème de Tverberg affirme que :

Un ensemble de points de admet une partition en sous-ensembles dont l'intersection des enveloppes convexes n'est pas vide.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) J. Radon, « Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten », Math. Ann., vol. 83,‎ , p. 113-115
  2. (en) Jiří Matoušek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions]
  3. (en) H. Tverberg, « A generalization of Radon's theorem », J. London Math. Soc., vol. 41,‎ , p. 121-128
  • (en) H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge Univ. Press
  • (en) Steven R. Lay, Convex Sets and Their Applications, Wiley, (ISBN 978-0-47109584-2)