Nombre pyramidal

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal est un nombre figuré polyédrique représenté par une pyramide dont la base, un polygone régulier, représente un nombre polygonal.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-pyramidal est donc^[1] la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à n :

{\begin{aligned}P_{n}^{(k)}&=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(k-2)i^{2}-(k-4)i}{2}}={\frac {1}{2}}\left((k-2){\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-(k-4){\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(k-2)n-(k-5)}{3}}.\end{aligned}}

Exemples

Nombre pyramidal	Somme de	Formule	Les dix premiers nombres	Numéro OEIS
Nombre pyramidal triangulaire, ou nombre tétraédrique	nombres triangulaires	$P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	suite A000292 de l'OEIS
Nombre pyramidal carré	nombres carrés	$P_{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$	1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385	suite A000330 de l'OEIS
Nombre pyramidal pentagonal	nombres pentagonaux	$P_{n}^{(5)}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$	1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550	suite A002411 de l'OEIS
Nombre pyramidal hexagonal	nombres hexagonaux	$P_{n}^{(6)}={\frac {n(n+1)(4n-1)}{6}}$	1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715	suite A002412 de l'OEIS
Nombre pyramidal heptagonal	nombres heptagonaux	$P_{n}^{(7)}={\frac {n(n+1)(5n-2)}{6}}$	1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880	suite A002413 de l'OEIS