Accord pythagoricien

Quinte du loup et comma sur le cercle représentant sept octaves.

En théorie de la musique occidentale, l'accord pythagoricien est un accord construit exclusivement sur des intervalles de quintes pures. Il est caractérisé par sa tierce, dite pythagoricienne, de rapport 81/64. On l'appelle communément « gamme pythagoricienne ».

Durant l'Antiquité, l'intervalle de quinte pure était considéré comme le plus consonant après l'octave, en raison de son rapport numérique simple (2/3) sur le monocorde. La méthode de superposition des quintes permet de construire une gamme chromatique ; c'est ainsi la plus ancienne manière d'accorder les instruments à sons fixes. Elle a été en usage jusqu'à la fin du Moyen Âge. Depuis, la gamme utilisée dans la musique occidentale est principalement la gamme tempérée. Cette gamme est plus pratique en termes de composition musicale que la gamme pythagoricienne.

Histoire

Cet accord tient son nom du philosophe et mathématicien grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation d'accords similaires remontent aux Babyloniens, vers le II^e millénaire av. J.-C.. L'école pythagoricienne a théorisé la gamme heptatonique dans l'harmonie des sphères, en utilisant les rapports de nombres entiers les plus simples sur le monocorde : l'octave (rapport 1/2, la corde est partagée en deux), la quinte (rapport 2/3, la corde vibre sur ses deux tiers) et la quarte (rapport 3/4). Ces intervalles étant alors considérés comme les seuls consonants.

Aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu, mais on retrouve chez Platon les termes du rapport du leimma, soit 256/243. Le plus ancien texte connu traitant du système pythagoricien est de Henri Arnault de Zwolle, écrit vers 1450.

Platon, dans sa Timée (34 b - 37 a), décrit comment le Démiurge façonne l'Âme du monde. Jean-François Mattéi résume ce passage de Platon ainsi :

« Le démiurge va tirer de sa composition finale une structure harmonique suggestive dont les calculs témoignent d'une influence pythagoricienne. Elle est constituée par une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et de raison 3 (1, 3, 9, 27), qu'il est commode de disposer sur un diagramme en forme de lambda majuscule (Λ), selon un schéma que l'on trouve chez Proclus. Cette figure porte, sur chaque côté de l'angle, les nombres respectifs de la série paire et de la série impaire. Le dernier de ces nombres (27) est égal à la somme des six précédents (1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27)… La progression selon le facteur 2 donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4...), alors que la progression selon le facteur 3 forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète en s'aidant de deux proportions continues ou « médiétés », l'une arithmétique (de type 1, 2, 3), l'autre harmonique (de type 3, 4, 6), bien connues des pythagoriciens, en particulier Archytas. L'intervalle des nombres de 1 à 2 sera composé des nombres 1 (Tonique), 4/3 (Quarte), 3/2 (Quinte) et 2 (Octave) ; le ton, dont la valeur est 9/8, se situe entre la quarte et la quinte, puisque 3/2 : 4/3 = 9/8. L'Âme du monde est ainsi composée de cinq tons majeurs égaux entre lesquels est intercalé comme « reste », leimma, l'intervalle de 256/243 (= 1,053), mesure du demi-ton diatonique de la gamme naturelle de Pythagore, qui est un peu plus faible que notre demi-ton tempéré (16/15 = 1,066) »

— Jean-François Mattéi, Platon.

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au Moyen Âge lorsque l'on a commencé à considérer comme consonant l'intervalle de tierce. En particulier avec Gioseffo Zarlino qui donne une nouvelle définition de la tierce dans son Istitutioni Harmoniche' en 1558.

Newton (1704) était convaincu qu'il devait y avoir une parfaite correspondance entre les diverses couleurs et les notes de la gamme.

Voltaire, dans les Éléments de philosophie de Newton (1738), partie 2, chap. XIV, résume les résultats :

« La plus grande réfrangibilité du violet répond à ré ; la plus grande réfrangibilité du pourpre répond à mi. Violet/ré, pourpre/mi, bleu/fa, vert/sol, jaune/la, orange/si, rouge/do (ut). Voltaire ajoute : “Cette analogie secrète entre la lumière et le son donne lieu de soupçonner que toutes les choses de la nature ont des rapports cachés que peut-être on découvrira quelque jour.” »

— Pierre Thuillier, La revanche des sorcières.

Construction

On construit une quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde.

L'intervalle de quinte pure correspond en acoustique musicale à un rapport de fréquences de 3/2. Ainsi, si on part de la note ayant pour fréquence 200 Hz, l'intervalle de quinte pure est obtenu en partageant la corde aux 2/3, donc en multipliant cette fréquence par 3/2 : la deuxième note aura une fréquence de 300 Hz, la troisième note 450 Hz, la quatrième note 675 Hz, etc. De même, en utilisant le monocorde, on construit un intervalle de quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde.

Ce rapport de 3/2 s'explique physiquement par la troisième harmonique produite lors de la production d'un son harmonique : la fréquence de la troisième harmonique est deux fois la fréquence de la quinte juste. Ainsi, jouer une note et sa quinte simultanément est harmonieux.

À partir de cette nouvelle note à la quinte on prend à nouveau les deux tiers de la corde, ce qui donne la deuxième quinte. En continuant ainsi, on retombe à la 12^e quinte sur une note très proche de celle de départ (en tenant compte du principe d'équivalence des octaves).

Sur le plan mathématique, il se trouve que si on répète douze fois le passage à la quinte, on a franchi presque sept octaves ($(3/2)^{12}\approx (2/1)^{7}$), et on revient presque exactement sur la note initiale. Ce rapport de fréquence 3/2 est en effet en rapport multiplicatif « simple » (au sens des fractions continues) du rapport d'octave 2/1 : ${\frac {\log {(3/2)}}{\log {(2/1)}}}\approx 7/12$ (ou plus précisément 7,01955…/12). Ce fait mathématique est à l'origine de pratiquement toute la théorie musicale : division de l'octave en douze demi-tons, et rôle primordial de la quinte dans les accords musicaux.

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène à une même octave, soit dans un intervalle de rapport 2 (principe d'équivalence des octaves), et on ignore la différence entre $({\frac {3}{2}})^{12}$ et ${2^{7}}$ (appelée comma pythagoricien) pour boucler la boucle. On peut choisir avec l'exemple précédent l'octave comprise entre 200 Hz et 400 Hz : il faut diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des 400 Hz, ce qui donnera par exemple pour celle de 675 Hz le résultat 337,5 Hz (675/2¹). La dernière quinte est raccourcie à l'approximation de l'octave supérieure.

12 quintes pures successives

Quintes	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Rapports	1	3/2	32/22	33/23	34/24	35/25	36/26	37/27	38/28	39/29	310/210	311/211	312/212
Rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2]	1	3/2	32/23	33/24	34/26	35/27	36/29	37/211	38/212	39/214	310/215	311/217	312/218
	1	1,5	≈ 1,13	≈ 1,69	≈ 1,27	≈ 1,90	≈ 1,42	≈ 1,07	≈ 1,60	≈ 1,20	≈ 1,80	≈ 1,35	≈ 2,03

On trie des quintes suivant l'ordre croissant des rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2]. La dernière quinte est raccourcie à l'octave supérieure.

Nom des notes de l'échelle chromatique ascendante

Quintes	0		7		2		9		4		11		6		1		8		3		10		5		12
Rapports ramenés dans l'intervalle [1; 2]	1		37/211		32/23		39/214		34/26		311/217		36/29		3/2		38/212		33/24		310/215		35/27		2
Noms	do		do♯		ré		ré♯		mi		mi♯		fa♯		sol		sol♯		la		la♯		si		do
Écarts	37/211apotome			28/35leimma		37/211apotome		28/35leimma		37/211apotome		28/35leimma		28/35leimma		37/211apotome		28/35leimma		37/211apotome		28/35leimma		28/35leimma

La gamme obtenue possède des intervalles assez réguliers. Par exemple, l'écart entre la 1^re et la 2^e note (3⁷/2¹¹) est très proche de l'écart entre la 2^e et la 3^e (3²/2³ / 3⁷/2¹¹). Elle peut donc servir de référence à l'accordage d'instruments de musique.

La quinte du loup se trouve ici dans l'intervalle mi#—do, mais elle est placée normalement dans la gamme dans l'intervalle sol#—mi♭, car c'est la quinte juste la moins utilisée.

Intervalles caractéristiques

La gamme pythagoricienne comporte:

• 11 quintes pures, plus la quinte du loup
• Cet accord contient aussi des quartes pures, obtenues par renversement des quintes.
• 8 tierces majeures pythagoriciennes plus grandes que la tierce pure d'un comma syntonique, et 4 tierces majeures très consonantes plus petites que la tierce pure d'un schisma.

Comma pythagoricien

Le comma pythagoricien représente la différence entre 7 octaves et 12 quintes pures. Son rapport de fréquences vaut :

${\frac {({\frac {3}{2}})^{12}}{2^{7}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}\approx 1,014$

Quinte du loup

L'intervalle de 12 quintes pures représente une étendue légèrement supérieure à 7 octaves, la dernière quinte est raccourcie (du comma pythagoricien) pour donner à l'ensemble une étendue valant exactement 7 octaves : elle forme la quinte dite « du loup » car elle est très dissonante (elle « hurle »). Cette quinte rend difficile la transposition. C'est l'un des inconvénients à l'origine de la recherche de nouveaux tempéraments.

Dans la pratique, les musiciens qui préfèrent utiliser des octaves pures accordent leurs instruments sur une gamme pythagoricienne en reportant la quinte du loup dans un intervalle peu utilisé, en général sol# — mi♭. Les intervalles englobant la quinte du loup sonneront faux aussi, il faut donc soigneusement l'éviter.

Le rapport de la quinte du loup se calcule en enlevant 11 quintes justes aux 7 octaves considérées :

${\frac {2^{7}}{\frac {3^{11}}{2^{11}}}}={\frac {2^{18}}{3^{11}}}\approx 1,480$, à comparer avec 1,5 pour une quinte juste.

Tierce pythagoricienne

La tierce majeure, qui vaut deux tons purs successifs, a pour rapport 9/8 × 9/8 = 81/64 dans la gamme pythagoricienne. Elle diffère légèrement de la tierce pure de rapport 5/4 = 80/64. La différence entre ces deux tierces est le comma syntonique.

Ton pythagoricien

Le ton pur pythagoricien, appelé l'épogdoon, a pour rapport 9/8 : deux quintes successives forment une neuvième, qui est une seconde redoublée. La neuvième réduite à l'octave donne le rapport : (3/2 × 3/2) / 2 = 9/8.

Demi-tons

La construction de l'accord fait apparaître deux valeurs pour les demi-tons :

• le plus grand est l'apotome, qui vaut 3⁷/2¹¹ (environ 1,0679),
• le plus petit est le leimma, qui vaut 2⁸/3⁵ (environ 1,0535).

Le produit de ces deux intervalles vaut un ton pythagoricien : (3⁷/2¹¹)×(2⁸/3⁵) = 3²/2³ = 9/8.

Le quotient de ces deux intervalles vaut exactement le comma pythagoricien : (3⁷/2¹¹)/(2⁸/3⁵) = 3¹²/2¹⁹.

Une octave vaut : 5 tons + 2 leimmas, le leimma est donc l'équivalent dans l'échelle pythagoricienne du demi-ton diatonique.

Ces deux demi-tons n'étant pas égaux, il est difficile de transposer (jouer un même morceau avec une note tonique différente) ou de moduler (changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau) dans cette gamme.

Apotome

L'apotome est l'intervalle compris entre une note et son altération. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 3⁷/2¹¹.

Leimma

Le leimma (du grec λεῖμμα, « reste »), proche d'une moitié de ton, est le différentiel entre la quarte pure, intervalle de référence chez les Grecs, et deux tons entiers. Il se calcule donc en soustrayant deux tons (9/8) à l'intervalle de quarte (4/3), soit :

${\frac {4}{3}}\times {\frac {8}{9}}\times {\frac {8}{9}}={\frac {2^{2}\times 2^{3}\times 2^{3}}{3\times 3^{2}\times 3^{2}}}={\frac {2^{8}}{3^{5}}}$.

Le leimma correspond à l'intervalle compris entre une note altérée et sa voisine ne portant pas le même nom (ré♯ et mi par exemple, ou bien mi♭ et ré).

Notation

Cycle des quintes avec le solfège : on descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel)

En utilisant le nom des notes issues du solfège, il est possible de construire une suite de quintes (en formant le cycle des quintes) et de donner un nom aux notes de la gamme pythagoricienne.

Dans la gamme tempérée, l'étendue d'une quinte juste vaut trois tons et demi : sur un piano on avance de quinte en quinte en se déplaçant chaque fois de 7 touches (touches noires comprises). En partant du do on obtient la suite :

do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯ — ré♯ — la♯ — mi♯ — si♯…

Par convention, on utilise le dièse pour les notes altérées dans la suite des quintes ascendantes, et le bémol dans la suite des quintes descendantes.

Toujours en partant de do, la suite des quintes descendantes commence par :

do — fa — si♭ — mi♭ — la♭ — ré♭ — sol♭ — do♭ — fa♭ — si♭♭ — mi♭♭ — la♭♭ — ré♭♭…

Clavier à 19 touches par octave imaginé par Zarlino, distinguant dièses et bémols

Il n'y a pas d'enharmonie puisque cette gamme n'est pas tempérée : le do♯ n'a donc pas la même fréquence que le ré♭. Les deux demi-tons, qui sont identiques dans la gamme tempérée, sont nommés dans la gamme pythagoricienne :

• apotome, pour l'intervalle formé par une note et sa version altérée ;
• limma, pour l'intervalle formé par une note altérée et la note voisine ne portant pas le même nom.

Ces intervalles sont disposés ainsi :

• do — apotome — do♯ — limma — ré, pour les quintes ascendantes ;
• do — limma — ré♭ — apotome — ré, pour les quintes descendantes.

Dans la gamme pythagoricienne, les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, on en déduit l'ordre suivant : do — ré♭ — do♯ — ré.

Gammes

La superposition de 5 quintes (do — sol — ré — la — mi) donne, après réduction à l'octave, une gamme pentatonique : ré — mi — sol — la — do.

La superposition de 7 quintes (fa — do — sol — ré — la — mi — si) donne une gamme heptatonique diatonique : ré — mi — fa — sol — la — si — do.

La superposition de 12 quintes donne une gamme chromatique.

Gamme pythagoricienne majeure

À partir d'une suite de 12 quintes pures, on désigne les notes de la gamme chromatique obtenue par les noms suivants :

mi♭ — si♭ — fa — do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯

La quinte du loup sera placée dans l'intervalle le moins utilisé, souvent sol♯ - mi♭. Selon le choix de la note de départ, on obtiendra différents modes pour les sept notes de base. La gamme majeure se définit selon les rapports suivants :

Gamme pythagoricienne majeure

Note	do		ré		mi		fa		sol		la		si		do
Rapport	1/1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2/1
Ecarts		9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243

Cette gamme particulière peut aussi se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au tempérament égal, exprimés en cents :

Note	Do	Do♯	Ré	Mi♭	Mi	Fa	Fa♯	Sol	Sol♯	La	Si♭	Si
Écarts	0	+9,78	–3,91	+5,87	–7,82	+1,96	±11,73	–1,96	+7,82	–5,87	+3,91	–9,78

Construction

La gamme pythagoricienne majeure contient la quarte pure (rapport 4/3). On remarque dans la gamme construite précédemment, qu'en remplaçant l'intervalle le plus proche de la quarte (celui de 11 quintes de rapport 3¹¹/2¹⁷) par la quarte elle-même, on retrouve apotomes et limmas :

Gamme majeure (incluant la quarte juste)

Quintes	0		7		2		9		4		11		6		1		8		3		10		5		12
Rapports	1		37/211		32/23		39/214		34/26		4/3		36/29		3/2		38/212		33/24		310/215		35/27		2
Écarts	apo.			lim.		apo.		lim.		lim.		apo.		lim.		apo.		lim.		apo.		lim.		lim.
Noms	do		do♯		ré		ré♯		mi		fa		fa♯		sol		sol♯		la		la♯		si		do

Cette substitution déplace la quinte du loup dans l'intervalle la♯ — fa, ce qui est plus judicieux du point de vue musical (on a bien (4/3) / (3¹⁰/2¹⁵) = 2¹⁷/3¹¹, et en multipliant par deux pour se remettre dans l'octave [1 ; 2] on retrouve la valeur de la quinte du loup). On remarque qu'en plus, l'intervalle fa — do retrouve son écart originel de 3/2.

Représentation graphique

Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma (90,225 cents) étant plus court que l'apotome (113,685 cents) d'un comma (23,460 cents).

Comparaison avec la gamme tempérée

Rapports, fréquences et cents de la gamme pythagoricienne ; différences avec la gamme tempérée

Note	Rapport avec ré	Fréquence pour la = 440 Hz	Cents	Cents gamme tempérée	Différence
ré	1 / 1 (1,000)	293,33	0	0	0
mi♭	256 / 243 (1,053)	309,03	90,225	100	-9,775
ré♯	2 187 / 2 048 (1,068)	313,24	113,685		+13,685
fa♭	65 536 / 59 049 (1,110)	325,56	180,450	200	-19,550
mi	9/8 (1,125)	330,00	203,910		+3,910
fa	32/27 (1,185)	347,65	294,135	300	-5,865
mi♯	19 683/16 384 (1,201)	352,40	317,595		+17,595
sol♭	8 192/6 561 (1,249)	366,25	384,360	400	-15,640
fa♯	81/64 (1,266)	371,25	407,820		+7,820
sol	4/3 (1,333)	391,11	498,045	500	-1,955
fa♯♯	177 147/131 072 (1,352)	396,45	521,505		+21,505
la♭	1 024/729 (1,405)	412,03	588,270	600	-11,730
sol♯	729/512 (1,424)	417,66	611,730		+11,730
si♭♭	262 144/177 147 (1,480)	434,08	678,495	700	-21,505
la	3/2 (1,500)	440,00	701,955		+1,955
si♭	128/81 (1,580)	463,54	792,180	800	-7,820
la♯	6 561/4 096 (1,602)	469,86	815,640		+15,640
do♭	32 768/19 683 (1,665)	488,34	882,405	900	-17,595
si	27/16 (1,688)	495,00	905,865		+5,865
do	16/9 (1,778)	521,48	996,090	1000	-3,910
si♯	59 049/32 768 (1,802)	528,60	1019,550		+19,550
ré♭	4 096/2 187 (1,873)	549,38	1086,315	1 100	-13,865
do♯	243/128 (1,898)	556,88	1109,775		+9,775
ré	2/1 (2,000)	586,67	1 200	1 200	0

Comparaison des enharmonies en gamme pythagoricienne et en gamme tempérée

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagorean tuning » (voir la liste des auteurs).

Annexes

Articles connexes

• Gamme pharaonique
• Loup

Liens externes

Application en ligne pour écouter la gamme pythagoricienne et la comparer avec d'autres gammes

Bibliographie

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• Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Éditions Paris 2001 - (ISBN 2-271-05840-6)
• Roland de Candé, Dictionnaire de musique, Paris, Éditions du Seuil, coll. « Microcosme », 1961 (ISBN 978-2-02-000297-4 et 2-02-000297-3)
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• Heiner Ruland, Évolution de la musique et de la conscience : Approche pratique des systèmes musicaux, ÉAR, Genève 2005, (ISBN 2-88189-173-X)
• Edith Weber, La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, n^o 2 (1965), p. 241-243 - doi:10.2307/927346