Cent et savart

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Le cent et le savart sont des unités de mesure fine des intervalles musicaux, basés tous deux sur une échelle logarithmique de la fréquence fondamentale d'un son musical.

Le savart vaut environ quatre cents.

Ce sont des unités utiles pour la théorie des gammes et tempéraments qui permettent d'indiquer avec précisions les petits écarts entre la hauteur d'une note particulière et une référence donnée.

Le savart fut défini à partir du logarithme à base 10 (dont les tables étaient les plus courantes) au début du XIXe siècle. Le cent est la centième partie du demi-ton ; utilisé communément par les acousticiens, il a été conçu et décrit par Alexandre J. Ellis en 1880.

Le savart[modifier | modifier le code]

Son nom vient de Félix Savart (1791-1841), célèbre pour ses travaux sur l'acoustique.

L'intervalle en savarts entre deux fréquences est égal à mille fois le logarithme décimal de leur rapport[1].

En d'autres termes, l'intervalle en savarts entre deux sons de fréquences fondamentales f1 et f2 est

σ =1000\cdot \log_{10} \left( \frac{f_2}{f_1}\right).

Le rapport de fréquence fondamentale de deux notes séparées d'une octave est de 2. Le logarithme décimal de 2 valant 0,30103..., l'octave correspond à environ 301 savarts.

Par commodité, on définit parfois, après Alexander Wood, le savart comme 1÷300 d'octave[2].

Le savart correspond approximativement au plus petit intervalle décelable par un auditeur attentif[3]. Le seuil de différentiation de l'oreille humaine entre deux fréquences proches varie selon les fréquences, avec un minimum aux alentours de 1 500 Hz (sol5), où, pour des sujets entraînés et un niveau sonore moyen ou fort, il peut diminuer jusqu'à 0,25 %, soit environ 1 savart. Au-dessus du do3 (261 Hz), le seuil est toujours inférieur à 2 savarts ; mais plus bas, il augmente nettement, et pour le do-1 (32,7 Hz), il est d'environ 10 savarts[4].

Le cent[modifier | modifier le code]

Un cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré[5].

Le demi-ton tempéré est donc égal à 100 cents et l'octave à 1200 cents (la gamme chromatique tempérée étant composée de 12 demi-tons identiques).

La valeur en cents de l'intervalle entre deux notes de fréquences f1 et f2, est :

c = 1200\cdot \log_2\left( \frac{f_2}{f_1}\right)=1200\cdot \frac{\log \frac{f_2}{f_1}}{\log 2}

Le cent est ainsi égal à 1200 fois la valeur du logarithme en base 2 du rapport entre les fréquences fondamentales. Dans la deuxième formule, la base du logarithme est indifférente, pourvu que ce soit la même au numérateur et au dénominateur[a].

Équivalences[modifier | modifier le code]

L'équivalence entre cents et savarts se calcule aisément :

savart = 1.2 \cdot \frac{\log 10}{\log 2}\cdot cent[b]
Rapport de fréquences Écart en cents Écart en savarts
1 0 0
≈1.0006 1 ≈0,251
≈1.002 ≈3,99 1
1.01 ≈17,2 ≈4,32
≈1.06 100 (demi-ton) 25,1
1,1 ≈165 ≈41,4

(valeurs arrondies à trois chiffres significatifs).


Histoire[modifier | modifier le code]

L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancienne que les logarithmes eux-mêmes, inventés par Lord Napier en 1614[6]. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musique[7]. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc.

Joseph Sauveur a proposé dans ses Principes d'acoustique et de musique de 1701 l'utilisation des logarithmes à base 10, probablement parce que les tables en étaient plus facilement disponibles. Le logarithme décimal de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301e d'octave. Pour obtenir des unités plus maniable, il suggère 7x301, soit 1/43e d'octave[8]. L'octave est donc divisée en 43 parties, appelées «mérides», elles-mêmes divisées en 7 parties, les «heptamérides»; Sauveur a encore envisagé la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 «décamérides», mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique[9].

C'est ce système que Savart a repris, mais sans préciser le nombre de décimales à considérer dans le logarithme de 2, de sorte que la valeur exacte du savart varie selon les sources. Le logarithme décimal de 2 vaut plus précisément 0,30103, donnant 301,03 savarts dans l'octave[10]. Mais cette valeur est souvent arrondie à 1/300e d'octave[11]. Outre le décaméride de Sauveur, d'autres subdivisions ont été proposées, notamment la division de l'octave en 30103 parties (soit 100.000 fois le logarithme de 2), appelée atom par le mathématicien anglais Auguste de Morgan (1806 - 1871) et jot par John Curwen (1816 - 1880) sur une suggestion de Hermann von Helmholtz. Des valeurs aussi petites n'ont cependant qu'un intérêt théorique[12].

Bien que les savarts aient conservé une certaine faveur chez des théoriciens de la musique de langue française, l'avènement des ordinateurs et des calculatrices de poche permet aujourd'hui le calcul aisé des logarithmes à n'importe quelle base. Il paraît plus simple et plus logique alors de choisir le logarithme qui attribue la valeur 1 au demi-ton (logarithme à base 12√2), proposé dès la fin du 18e siècle par Gaspard de Prony et connu sous le nom de prony, ou même au centième de demi-ton, le cent (logarithme à base 1200√2).

Annexes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT,‎ , 236 p. (ISBN 2-905335-00-9)
  • (en) A. G. Pikler, « Logarithmic Frequency Systems », Journal of the Acoustical Society of America, vol. 39, no 1102,‎ (présentation en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les ordinateurs, calculent le logarithme naturel, pour lesquelles les séries de Maclaurin offrent un algorithme de calcul simple, et divisent ensuite le résultat par le logarithme naturel de la base demandée pour aboutir au résultat.
  2. Dans la formule, la base du logarithme est indifférente.

  1. Émile Leipp, Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles, Masson,‎ , 4e éd., p. 16.
  2. (en) « Logarithmic Interval Measures », sur huygens-fokker.org.
  3. Claude-Henri Chouard, L'oreille musicienne : Les chemins de la musique de l'oreille au cerveau, Paris, Gallimard,‎ , 348 p. (ISBN 2-07-076212-2), p. 92-93.
  4. Laurent Demany, « Perception de la hauteur tonale », dans Botte & alii, Psychoacoustique et perception auditive, Paris, Tec & Doc,‎ , p. 45.
  5. Asselin 2000, p. 183
  6. Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge, The University Press
  7. Ramon Ceñal, «Juan Caramuel, su epistolario con Athanasio Kircher, S.J.», Revista de Filosofia XII/44, Madrid 1954, p. 134 sq.
  8. 301 n'est divisible que par 7 ou par 43.
  9. Joseph Sauveur, Principes d'acoustique et de musique ou Système général des intervalles des sons : Reprod. en fac-sim. de l'éd. de 1701. La page de titre ancienne porte en plus: «inséré dans les Mémoires de 1701 de l'Académie royale des sciences», Genève, Minkoff,‎ , 68-[2] p. ; voir en ligne Mémoires de l'Académie royale des sciences, 1700, Acoustique ; 1701 Acoustique.
  10. Émile Leipp, Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles, Masson, 1989, 4e éd., p. 16.
  11. Alexander Wood, The Physics of Music, Londres, 1944, rééd. 2007, p. 53-54.
  12. On trouvera une liste de valeurs de très petits intervalles logarithmiques sur le site Internet de la Fondation Huygens-Fokker, qui se consacre à l'étude des micro-intervalles et de leur usage.