Utilisateur:Patrick.Delbecq/Brouillon3

Test

Un gaz parfait suit les deux lois de Joule :

• son énergie interne ne dépend que de la température : $\mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T$ ;
• son enthalpie ne dépend que de la température : $\mathrm {d} H=V\,\mathrm {d} P+T\,\mathrm {d} S=C_{P}\,\mathrm {d} T$.

On a donc :

$T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T+P\,\mathrm {d} V=C_{P}\,\mathrm {d} T-V\,\mathrm {d} P$

Boîtes

I'm watching you.

Hell's cat.

Principe de procrasdynamique.

Atteindre l'état d'entropie minimale.

Principe de procrasdynamique.

Atteindre l'état d'entropie minimale.

Typo

${\textbf {ABCD}}$

${\textbf {\mathsf {ABCD}}}$

${\textbf {\textsf {ABCD}}}$

${\textsf {\textbf {ABCD}}}$

${\mathsf {\textbf {ABCD}}}$

${\mathsf {{\boldsymbol {A}}BCD}}$

${\mathsf {\boldsymbol {ABCD}}}$

${\boldsymbol {\mathsf {ABCD}}}$

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \itshape »): {\displaystyle \itshape{\mathsf{ABCD}}}

${\bf {\mathsf {\bf {ABCD}}}}$

${\it {\mathsf {ABCD}}}$

${\bf {ABCD}}$

${\it {ABCD}}$

Dérivée partielle

Soit la fonction ${\bar {G}}={\bar {G}}\!\left(P,T,x_{1},x_{2}\right)$. La relation $x_{1}+x_{2}=1$ permet de ne retenir, arbitrairement, que la seule variable $x_{2}$ en composition : ${\bar {G}}={\bar {G}}\!\left(P,T,x_{2}\right)$.

cas 1

Selon le théorème de dérivation des fonctions composées, si l'on dérive ${\bar {G}}={\bar {G}}_{1}\!\left(P,T,x_{2}\right)={\bar {G}}_{2}\!\left(P,T,x_{1},x_{2}\right)$ :

${\begin{aligned}\left({\partial {\bar {G}}_{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}&=\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}\left({\partial x_{1} \over \partial x_{2}}\right)+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\left({\partial x_{2} \over \partial x_{2}}\right)\\&=\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}\left({\partial \left[1-x_{2}\right] \over \partial x_{2}}\right)+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\\&=-\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\end{aligned}}$

On a donc, selon que l'on considère ou non la relation $x_{1}+x_{2}=1$ :

$\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}-\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}$

Exemple :

${\begin{aligned}f&=A\,x_{1}+B\,x_{2}+C\,{x_{1}}^{2}+D\,{x_{2}}^{2}+E\,x_{1}x_{2}\\&=A\,\left(1-x_{2}\right)+B\,x_{2}+C\,\left(1-x_{2}\right)^{2}+D\,{x_{2}}^{2}+E\,\left(1-x_{2}\right)x_{2}\end{aligned}}$

$\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)_{x_{1}}=B+2D\,x_{2}+E\,x_{1}$

$\left({\partial f \over \partial x_{1}}\right)_{x_{2}}=A+2C\,x_{1}+E\,x_{2}$

${\begin{aligned}\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)&=-A+B-2C\,\left(1-x_{2}\right)+2D\,x_{2}+E\,\left(1-2\,x_{2}\right)\\&=-A+B-2C\,x_{1}+2D\,x_{2}+E\,\left(x_{1}-x_{2}\right)\\&=\left[B+2D\,x_{2}+E\,x_{1}\right]-\left[A+2C\,x_{1}+E\,x_{2}\right]\end{aligned}}$

$\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)=\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)_{x_{1}}-\left({\partial f \over \partial x_{1}}\right)_{x_{2}}$

cas 2

Par définition, le potentiel chimique est l'enthalpie libre molaire partielle. Pour l'espèce $1$ dans le mélange binaire, on a :

$\mu _{1}=\left({\partial G \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial n{\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}={\bar {G}}+n\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$

avec $n=n_{1}+n_{2}$ la quantité de matière totale du mélange, $x_{1}=n_{1}/n$ et $x_{2}=n_{2}/n$. La relation $x_{1}+x_{2}=1$ permettant de ne retenir, arbitrairement, que la seule variable de composition $x_{2}$, on a ${\bar {G}}={\bar {G}}\!\left(P,T,x_{2}\right)$. La dérivation à pression et température constantes donne :

$\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{1}}\right)_{n_{2}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(-{x_{2} \over n}\right)$

$\mu _{1}={\bar {G}}-\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}x_{2}$

On a pour l'espèce $2$ :

$\mu _{2}=\left({\partial G \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial n{\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {G}}+n\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}$

$\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{2}}\right)_{n_{1}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({1 \over n}-{x_{2} \over n}\right)$

$\mu _{2}=\left({\partial G \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {G}}+\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(1-x_{2}\right)$

On obtient la dérivée de la fonction ${\bar {G}}$ :

$\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}=\mu _{2}-\mu _{1}$

Exemple :

$G=n\,x_{1}x_{2}={n_{1}n_{2} \over n_{1}+n_{2}}$

$\mu _{1}=x_{2}-x_{1}x_{2}$

$\mu _{2}=x_{1}-x_{1}x_{2}$

${\bar {G}}=x_{1}x_{2}=x_{2}-{x_{2}}^{2}$

$\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}=1-2\,x_{2}=x_{1}-x_{2}=\mu _{2}-\mu _{1}$

cas 3

La dérivée seconde s'écrit :

$\left({\partial ^{2}{\bar {G}} \over {\partial x_{2}}^{2}}\right)_{P,T}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}-\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}$

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne pour $\mu _{2}$ (qui, comme ${\bar {G}}$, est considéré comme ne dépendant que de $x_{2}$ en composition) :

$\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{2}}\right)_{n_{1}}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({1 \over n}-{x_{2} \over n}\right)$

$\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={n \over x_{1}}\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}$

On obtient de la même façon pour $\mu _{1}$ :

$\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{1}}\right)_{n_{2}}=\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(-{x_{2} \over n}\right)$

$-\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={n \over x_{2}}\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$

La dérivée seconde de ${\bar {G}}$ se réécrit :

$\left({\partial ^{2}{\bar {G}} \over {\partial x_{2}}^{2}}\right)_{P,T}={n \over x_{1}}\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}+{n \over x_{2}}\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$

Exemple :

$\mu _{1}=x_{2}-x_{1}x_{2}={x_{2}}^{2}$

$\mu _{2}=x_{1}-x_{1}x_{2}={x_{1}}^{2}$

$\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=-{2 \over n}{x_{2}}^{2}$

$\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{2}}=-{2 \over n}{x_{1}}^{2}$

$\left({\partial ^{2}{\bar {G}} \over {\partial x_{2}}^{2}}\right)_{P,T}=-2=-2\,x_{1}-2\,x_{2}={n \over x_{1}}\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}+{n \over x_{2}}\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$

Relation de Gibbs-Helmholtz

$\mathrm {d} {G \over T}={\mathrm {d} G \over T}+G\,\mathrm {d} {1 \over T}$

$G=H-TS$

$\mathrm {d} {G \over T}={\mathrm {d} G \over T}+\left(H-TS\right)\,\mathrm {d} {1 \over T}$

$\mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P-S\,\mathrm {d} T+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}$

$\mathrm {d} {1 \over T}=-{\mathrm {d} T \over T^{2}}$

$\mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P+T^{2}S\,\mathrm {d} {1 \over T}+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}$

$\mathrm {d} {G \over T}={V \over T}\,\mathrm {d} P+{\cancel {TS\,\mathrm {d} {1 \over T}}}+\sum _{i}{\mu _{i} \over T}\,\mathrm {d} n_{i}+H\,\mathrm {d} {1 \over T}-{\cancel {TS\,\mathrm {d} {1 \over T}}}$

$\mathrm {d} {G \over T}={V \over T}\,\mathrm {d} P+H\,\mathrm {d} {1 \over T}+\sum _{i}{\mu _{i} \over T}\,\mathrm {d} n_{i}$

$H=\left({\partial {G \over T} \over \partial {1 \over T}}\right)_{P,n}$

Effet magnétocalorique

réfrigération magnétique

https://books.google.fr/books?id=-HTLBQAAQBAJ&pg=PA55#v=onepage&q&f=false

https://books.google.fr/books?id=-HTLBQAAQBAJ&pg=PA4#v=onepage&q&f=false

https://books.google.fr/books?id=1oavcLF7-boC&pg=PA2#v=onepage&q&f=false

https://books.google.fr/books?id=gumvHDQmJD0C&pg=RA1-PA448#v=onepage&q&f=false

http://actes.sge-conf.fr/2014/articles/article_30156.pdf

https://books.google.fr/books?id=zzYZUlX9ZzYC&pg=PA2#v=onepage&q&f=false

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01496267/document

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00331526/document

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01314135/document - pages 26 et 29

https://www.theses.fr/2015STRAD008.pdf

https://pdfs.semanticscholar.org/4261/5eb5c73116f9cd98dea834c8f7aa553f623f.pdf

https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-70733-9_3

http://people.virginia.edu/~cas8m/classes/phys8310/2013/magnetism_wasserman.pdf

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0140700705001039

• [PDF] Sébastien Bourdreux (agrégation de physique, université Blaise-Pascal, Clermont-Ferrand), « Capacités thermiques - Description, interprétation microscopique », sur Le Repaire des sciences, 2004 (consulté le 5 janvier 2020).

Bilan énergétique

Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne d'un matériau subissant une transformation quelconque vaut :

$\mathrm {d} U=\delta W+\delta Q$

Nous considérons un matériau soumis à un champ magnétique externe. Le travail de la force magnétique dans un matériau soumis à un champ magnétique externe vaut :

$\delta W_{m}=-M\,\mathrm {d} B$

Le travail inclut également le travail des forces de pression, dû à la dilatation thermique du matériau, soit sa variation de volume en fonction de la température :

$\delta W_{P}=-P\,\mathrm {d} V$

Dans une transformation réversible, dans laquelle $\delta Q=T\,\mathrm {d} S$, la variation de l'énergie interne $U$ du matériau vaut en conséquence :

Bilan énergétique : $\mathrm {d} U=\delta W_{P}+\delta W_{m}+\delta Q=-P\,\mathrm {d} V-M\,\mathrm {d} B+T\,\mathrm {d} S$

avec :

• $P$ la pression,
• $V$ le volume,
• $M$ l'aimantation,
• $B$ l'induction magnétique,
• $T$ la température absolue,
• $S$ l'entropie.

L'effet magnétocalorique est généralement étudié sur des solides, notamment dans le cadre de la réfrigération magnétique. La dilatation thermique d'un solide étant faible, le travail des forces de pression est négligeable devant celui de la force magnétique (en d'autres termes, en valeur absolue : $\left|-P\,\mathrm {d} V\right|\ll \left|-M\,\mathrm {d} B\right|$).

Relation de Maxwell-Weiss

Par définition de l'enthalpie libre $G=U+PV-TS$, on a :

$\mathrm {d} G=\mathrm {d} U+V\,\mathrm {d} P+V\,\mathrm {d} P-T\,\mathrm {d} S-S\,\mathrm {d} T$

d'où :

$\mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P-M\,\mathrm {d} B-S\,\mathrm {d} T$

Cette différentielle étant totale, on a les relations :

$V=\left({\partial G \over \partial P}\right)_{B,T}$ $-M=\left({\partial G \over \partial B}\right)_{P,T}$ $-S=\left({\partial G \over \partial T}\right)_{P,B}$

Le théorème de Schwarz permet d'écrire :

$\left({\partial ^{2}G \over \partial P\partial B}\right)_{T}=\left({\partial ^{2}G \over \partial B\partial P}\right)_{T}$

$\left({\partial ^{2}G \over \partial P\partial T}\right)_{B}=\left({\partial ^{2}G \over \partial T\partial P}\right)_{B}$

$\left({\partial ^{2}G \over \partial B\partial T}\right)_{P}=\left({\partial ^{2}G \over \partial T\partial B}\right)_{P}$

on a ainsi, respectivement :

$-\left({\partial M \over \partial P}\right)_{B,T}=\left({\partial V \over \partial B}\right)_{P,T}$ $-\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T,B}=\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,B}$ $\left({\partial S \over \partial B}\right)_{T,P}=\left({\partial M \over \partial T}\right)_{B,P}$

La deuxième relation est l'une des relations de Maxwell classiques en thermodynamique. La première et la troisième relations sont d'autres relations de Maxwell propres au domaine de l'électromagnétisme. La dernière relation en particulier est appelée relation de Maxwell-Weiss, du nom du physicien français Pierre Weiss qui l'établit en travaillant sur l'effet magnétocalorique, c'est-à-dire le changement de température d'un matériau magnétique soumis à un champ magnétique externe :

Relation de Maxwell-Weiss : $\left({\partial S \over \partial B}\right)_{T,P}=\left({\partial M \over \partial T}\right)_{B,P}$

Bilan entropique

En l'absence de travail des forces de pression, la variation d'entropie du matériau étudié vaut :

$\delta Q=T\,\mathrm {d} S=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{B}\,\mathrm {d} T+T\left({\partial S \over \partial B}\right)_{T}\,\mathrm {d} B$

On définit $C_{B}$ la capacité thermique à induction magnétique constante du matériau étudié, par :

Capacité thermique à induction magnétique constante : $C_{B}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{B}$

En considérant également la relation de Maxwell-Weiss, la variation entropique est réécrite selon :

Bilan entropique : $\delta Q=T\,\mathrm {d} S=C_{B}\,\mathrm {d} T+T\left({\partial M \over \partial T}\right)_{B}\,\mathrm {d} B$

En appliquant le théorème de Schwarz, on obtient :

$\left({\partial ^{2}S \over \partial B\partial T}\right)=\left({\partial ^{2}S \over \partial T\partial B}\right)$

soit :

$\left({\partial \over \partial B}{C_{B} \over T}\right)_{T}=\left({\partial ^{2}M \over \partial T^{2}}\right)_{B}$

En supposant que la susceptibilité magnétique du matériau étudié suit la loi de Curie, alors il existe une constante $C$, appelée constante de Curie, telle que :

Loi de Curie : $M={C \over T}B$

on a :

${1 \over T}\left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}={2C \over T^{3}}B$

$\left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}={2C \over T^{2}}B$

On intègre cette relation entre un état sans champ magnétique ($B=0$) et un état avec un champ magnétique $B$ :

$\int _{0}^{B}\left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}\mathrm {d} B={C \over T^{2}}\int _{0}^{B}2B\,\mathrm {d} B$

$C_{B}\!\left(B,T\right)-C_{B}\!\left(0,T\right)={C \over T^{2}}B^{2}$

On pose, en introduisant une constante $b$ :

$C_{B}\!\left(0,T\right)={C \over T^{2}}b^{2}$

d'où :

$C_{B}\!\left(B,T\right)={C \over T^{2}}\left(B^{2}+b^{2}\right)$

Transformation adiabatique

Dans une transformation adiabatique, soit $\delta Q=0$ :

Transformation adiabatique : $\mathrm {d} T=-{T \over C_{B}}\left({\partial M \over \partial T}\right)_{B}\,\mathrm {d} B$

On introduit dans cette équation la loi de Curie et l'expression de la capacité thermique obtenue précédemment :

$\mathrm {d} T=-{T^{3} \over C\left(B^{2}+b^{2}\right)}\left(-{C \over T^{2}}B\right)\,\mathrm {d} B$

${\mathrm {d} T \over T}={B \over B^{2}+b^{2}}\,\mathrm {d} B$

Si l'on fait varier le champs magnétique externe sur le corps étudié de $B_{i}$ à $B_{f}$, la température de ce corps passe de $T_{i}$ à $T_{f}$ selon :

$\int _{T_{i}}^{T_{f}}{\mathrm {d} T \over T}=\int _{B_{i}}^{B_{f}}{B \over B^{2}+b^{2}}\,\mathrm {d} B$

$\ln \!\left({T_{f} \over T_{i}}\right)={1 \over 2}\ln \!\left({{B_{f}}^{2}+b^{2} \over {B_{i}}^{2}+b^{2}}\right)$

soit :

Variation adiabatique de la température : ${{B_{f}}^{2}+b^{2} \over {T_{f}}^{2}}={{B_{i}}^{2}+b^{2} \over {T_{i}}^{2}}$

Exemple

Pour du cuivre $b=0{,}3\,{\mathsf {mT}}$. Avec les conditions initiales et finale :

• $B_{i}=10\,{\mathsf {T}}$,
• $T_{i}=1\,{\mathsf {mK}}$,
• $B_{f}=0\,{\mathsf {T}}$,

on obtient une température finale $T_{f}=0{,}3\,{\mathsf {\mu K}}$.

Transformation à champ magnétique constant

Dans une transformation à champ magnétique constant ($\mathrm {d} B=0$), on a :

$T\,\mathrm {d} S=C_{B}\,\mathrm {d} T$

$\mathrm {d} S={C \over T^{3}}\left(B^{2}+b^{2}\right)\,\mathrm {d} T$

Si la température du corps étudié varie de $T_{i}$ à $T_{f}$, l'entropie de ce corps passe de $S_{i}$ à $S_{f}$ selon :

$\int _{S_{i}}^{S_{f}}\mathrm {d} S=C\left(B^{2}+b^{2}\right)\int _{B_{i}}^{B_{f}}{\mathrm {d} T \over T^{3}}$

$S\!\left(T_{f},B\right)-S\!\left(T_{i},B\right)=-{C\left(B^{2}+b^{2}\right) \over 2}\left({1 \over {T_{f}}^{2}}-{1 \over {T_{i}}^{2}}\right)$

van der Waals

https://arxiv.org/pdf/physics/0303117&ved=2ahUKEwivh8CJqtKAAxU9aqQEHWuOBgIQFnoECCIQAQ&usg=AOvVaw0LMP0isC_mqhZWATFlxGVA

https://yadda.icm.edu.pl/baztech/element/bwmeta1.element.baztech-5914b231-72ca-4e77-91db-89a20df9816c/c/VERESHCHAGIN_2C_i_in._hydroacoustics-vol5-pp53.pdf&ved=2ahUKEwivh8CJqtKAAxU9aqQEHWuOBgIQFnoECBAQAQ&usg=AOvVaw2uZDL2GjuvrboLznHJTQyL

http://pta.eti.pg.gda.pl/journal/papers/hydroacoustics-vol5-pp53.pdf

https://arxiv.org/pdf/physics/0303117.pdf

https://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:ee16f7e5-4251-4629-9192-8f4a2e3d599b/datastream/OBJ/download&usg=AOvVaw0VIFIaxYArcYBrrCRalLZv

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

$c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}$

avec :

• $\chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S,n}$ la compressibilité isentropique ;
• $\rho ={m \over V}$ la masse volumique, avec $m$ la masse.

La relation de Reech donne :

${C_{p} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}$

avec :

• $C_{p}$ la capacité thermique isobare ;
• $C_{V}$ la capacité thermique isochore ;
• $\chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial p}\right)_{T,n}$ le coefficient de compressibilité isotherme.

On réécrit :

$c^{2}={C_{p} \over C_{V}}{1 \over \chi _{T}\,\rho }=-{C_{p} \over C_{V}}{V^{2} \over m}\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}$

La relation de Mayer donne :

$C_{p}=C_{V}-T{\left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial p}\right)_{T,n}$

d'où :

$c^{2}={TV^{2} \over C_{V}m}{\left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}-{V^{2} \over m}\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}$

L'équation d'état de van der Waals s'écrit :

$p={nRT \over V-nb}-{an^{2} \over V^{2}}$

avec :

• $a$ le terme de cohésion (constant) ;
• $b$ le covolume molaire (constant) ;
• $n$ la quantité de matière (nombre de moles) ;
• $p$ la pression ;
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• $T$ la température absolue ;
• $V$ le volume.

On a :

$\left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}={nR \over V-nb}$

$\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}=-{nRT \over \left(V-nb\right)^{2}}+{2an^{2} \over V^{3}}$

On réécrit :

$c^{2}={nRT \over m}\left({nR \over C_{V}}+1\right)\left({V \over V-nb}\right)^{2}-{2an^{2} \over mV}$

On pose :

$M={m \over n}$ la masse molaire ;

${\bar {V}}={V \over n}$ le volume molaire ;

${\bar {C}}_{V}={C_{V} \over n}$ la capacité thermique isochore molaire.

On obtient finalement :

$c={\sqrt {{RT \over M}\left({R \over {\bar {C}}_{V}}+1\right)\left({{\bar {V}} \over {\bar {V}}-b}\right)^{2}-{2a \over M{\bar {V}}}}}$

Avec :

• $a'={a \over M^{2}}$ et $b'={b \over M}$ ;
• $c_{V}={{\bar {C}}_{V} \over M}$ la capacité thermique isochore massique ;
• $R_{s}={R \over M}$ la constante spécifique du fluide ;
• $\rho ={M \over {\bar {V}}}$ la masse volumique ;

on a également :

$c={\sqrt {R_{s}T\left({R_{s} \over c_{V}}+1\right)\left({1 \over 1-b'\rho }\right)^{2}-2a'\rho }}$

équilibre de phases particuliers

Deux phases

zéotrope

Un gaz se transforme en liquide, les deux phases étant de compositions différentes et variables au cours de la transformation.

point de fusion non congruent ou point de fusion incongruent

Un solide se transforme en liquide, les deux phases étant de compositions différentes et variables au cours de la transformation.

azéotrope

Un gaz se transforme en liquide, les deux phases étant de même composition constante au cours de la transformation.

point de fusion congruent

Un solide se transforme en liquide, les deux phases étant de même composition constante au cours de la transformation.

trois phases

hétéroazéotrope

Un gaz se transforme en deux liquides de compositions différentes de celle du gaz initial.

eutectique

Un liquide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du liquide initial.

eutectoïde

Un solide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du solide initial.

péritectique

Un solide se transforme en un liquide et un solide de compositions différentes de celle du solide initial.

péritectoïde

Un solide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du solide initial.