Théorème de Maschke

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Heinrich Maschke

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Ce théorème établit que si la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe, alors toute représentation se décompose en facteurs irréductibles. Il se reformule en termes de modules sur l'algèbre d'un groupe fini et possède une généralisation partielle aux groupes compacts.

Ce théorème doit son nom au mathématicien allemand Heinrich Maschke.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Précisons le vocabulaire et les propriétés utilisés dans les trois formulations du théorème.

Théorème de Maschke (trois formulations équivalentes) — Soient G un groupe fini et K un corps dont la caractéristique ne divise pas l'ordre de G. Alors :

  • toute représentation de G sur K est complètement réductible ;
  • tout G-module sur K est semi-simple ;
  • la K-algèbre de G est semi-simple.

L'article « Groupe compact » détaille une généralisation partielle du théorème à certains groupes topologiques : les groupes compacts, grâce à l'existence d'une mesure positive finie compatible avec la loi du groupe et appelée mesure de Haar : pour un groupe compact, toute représentation continue de dimension finie sur ou est complètement réductible.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le théorème voit le jour dans le contexte du développement de la théorie des représentations d'un groupe fini. Le mois d'avril 1896 voit dans trois réponses[1] épistolaires de Frobenius à Dedekind la naissance de cette théorie. Frobenius comprend immédiatement qu'il est à l'origine d'une vaste théorie. Le 16 juillet, il publie un premier article[2]. On peut y lire[3] je développerai ici le concept [de caractère pour un groupe fini quelconque] avec la croyance que, à travers cette introduction, la théorie des groupes sera substantiellement enrichie.

L'école de mathématiques de l'université de Chicago étudie aussi ce sujet, avec un accent particulier sur les corps finis, un de ses membres, Heinrich Maschke, élève de Felix Klein, travaille sur le cas des caractères du groupe symétrique. En 1898, il démontre un cas particulier de ce qui deviendra son théorème[4]. Il trouve la preuve générale l'année suivante et elle est publiée[5] dans les Mathematische Annalen que dirige Klein. Un mathématicien allemand Alfred Loewy (en) énonce, sans preuve, un résultat analogue au théorème en 1896.

En 1907, à Édimbourg, Joseph Wedderburn publie son article[6] peut-être le plus célèbre, classifiant toutes les algèbres semi-simples ; la formulation du théorème s'en trouve modifiée.

Applications[modifier | modifier le code]

  • Ce théorème simplifie la théorie des représentations d'un groupe fini ou de sa K-algèbre. En effet, il suffit de se limiter aux représentations irréductibles. Les autres se déduisent directement par somme directe.
  • Ce théorème permet de démontrer simplement que tout groupe abélien fini est un produit de groupes cycliques. Le lemme de Schur prouve que sur ℂ, les représentations irréductibles sont de degré 1. Il suffit alors de considérer la représentation régulière et d'appliquer le théorème de Maschke pour conclure.

Exemple : représentation régulière du groupe symétrique S3[modifier | modifier le code]

Soit (V, λ) la représentation régulière gauche sur du groupe symétrique S3, constitué des six permutations de l'ensemble {1, 2, 3} : l'identité notée id, les deux 3-cycles c1 = (123) et c2 = (132) et les trois transpositions t1 = (23), t2 = (13) et t3 = (12). Le ℚ-espace vectoriel V a pour base canonique (id, c1, c2, t1, t2, t3) à l'ordre près.

On remarque l'existence de deux vecteurs propres pour toutes les images par λ :

w_1=\mathrm{id}+c_1+c_2+t_1+t_2+t_3 \quad\text{et}\quad w_2=\mathrm{id}+c_1+c_2 - t_1 - t_2 - t_3.

Toute permutation laisse w1 invariant ; les trois permutations paires laissent w2 invariant et les trois impaires transforment w2 en –w2.

Le plan vectoriel W engendré par w1 et w2 est stable ; le théorème de Maschke indique une méthode pour lui trouver un sous-espace supplémentaire stable : soit p n'importe quel projecteur sur W, alors l'application

\frac16\sum_{t\in S_3}\lambda_t\circ p \circ\lambda_t^{-1}

est encore un projecteur sur W, et son noyau U est stable par toutes les images par λ. On trouve que c'est le sous-espace défini, dans la base canonique, par les équations

x_1+x_2+x_3=0,\quad x_4+x_5+x_6=0.

De plus, dans la base de U

u_1=\mathrm{id}-c_2+t_2-t_3,\quad u_2=c_1-c_2+t_1-t_3,\quad u_3=c_1-c_2-t_1+t_2,\quad u_4=-\mathrm{id}+c_1+t_2-t_3,

les restrictions à U des images des deux générateurs c1 et t1 de S3 ont pour matrices respectives  :

\begin{pmatrix}-1&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}.

Par conséquent, les deux plans H1=<u1,u2> et H2=<u3,u4>, supplémentaires dans U, sont stables et les deux sous-représentations associées sont équivalentes. La décomposition en représentations irréductibles de S3 prédite par le théorème de Maschke est alors :

V=<w_1>\oplus<w_2>\oplus H_1\oplus H_2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) T. Hawkins (de), The origins of the theory of group characters, Archive Hist. Exact Science 7, 1971, p. 142-170
  2. (de) Von G. Frobenius, « Ueber Gruppencharaktere », Sitzungsber. K. Pr. Akad. Wiss. Berlin,‎ 1896
  3. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Ferdinand Georg Frobenius », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  4. (de) H. Maschke, « Ueber den arithmetischen Charakter… », Math. Ann., vol. 50,‎ 1898, p. 492-498 (lire en ligne)
  5. (de) H. Maschke, « Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen… », Math. Ann., vol. 52,‎ 1899, p. 363-368 (lire en ligne)
  6. (en) J. Wedderburn, On hypercomplex numbers, Proc. London Mathematical Society, 1907

Lien externe[modifier | modifier le code]

Cours de représentation des groupes finis par Michel Broué de l'université Paris VII - Diderot

Ouvrages[modifier | modifier le code]