Produit tensoriel et représentations de groupes finis

En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, le produit tensoriel est une technique permettant de construire une représentation d'un groupe fini à partir de deux autres.

Une représentation d'un groupe produit est irréductible si et seulement si elle est le produit tensoriel de représentations irréductibles de chacun des deux facteurs.

Produit tensoriel[modifier | modifier le code]

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit tensoriel de modules sur un anneau commutatif.

Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps K. Le produit tensoriel de V et W, noté V⊗W, est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire canonique de V×W dans V⊗W, initial au sens suivant : toute application bilinéaire de V×W dans un espace vectoriel E se factorise de façon unique par une application linéaire de V⊗W dans E. Cet espace V⊗W (muni de son application bilinéaire canonique) est donc unique à isomorphisme près, comme solution de ce problème universel. Son existence est démontrée dans l'article détaillé.

Le cas particulier E=K fournit un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur V×W et l'espace dual (V⊗W)*. Cet espace de formes bilinéaires étant par ailleurs identifiable à Hom(V,W*) ainsi qu'à Hom(W,V*), il est isomorphe à V*⊗W* dès que V ou W est de dimension finie.

En caractéristique différente de 2, les tenseurs symétriques et antisymétriques de V⊗V forment deux sous-espaces supplémentaires, notés Sym(V) et Alt(V).

Si (a_i) (resp. (b_j)) est une base de V (resp. W), alors les images canoniques dans V⊗W des couples (a_i,b_j), notées a_i⊗b_j, forment une base de V⊗W.

Passage aux endomorphismes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit tensoriel de deux applications linéaires.

À tout endomorphisme φ de V et tout endomorphisme ψ de W est associé un endomorphisme de V⊗W noté φ⊗ψ et caractérisé par :

(\varphi \otimes \psi )(u\otimes v)=\varphi (u)\otimes \psi (v).

Ce produit tensoriel est compatible avec la composition :

(\varphi \circ \varphi ')\otimes (\psi \circ \psi ')=(\varphi \otimes \psi )\circ (\varphi '\otimes \psi '),

et φ⊗ψ est bijectif si et seulement si φ et ψ le sont.

Sym(V) et Alt(V) sont stables par φ⊗φ.

Si (α_i,k) (resp (β_j,l)) désigne la matrice de φ (resp. ψ) dans les bases précédentes (supposées finies), alors la matrice de φ⊗ψ dans la base (a_i⊗b_j) a pour coefficients $\alpha _{i,k}\beta _{j,l}$ , c'est-à-dire que

(\varphi \otimes \psi )(a_{k}\otimes b_{l})=\sum _{i,j}\alpha _{i,k}\beta _{j,l}~a_{i}\otimes b_{j}.

On en déduit que la trace de φ⊗ψ (somme des termes diagonaux de cette matrice) est égale au produit des traces de φ et ψ :

\mathrm {Tr} (\varphi \otimes \psi )=\sum _{i,j}\alpha _{i,i}\beta _{j,j}=\mathrm {Tr} (\varphi )\mathrm {Tr} (\psi ).

Définitions[modifier | modifier le code]

Représentation d'un groupe produit par produit tensoriel[modifier | modifier le code]

Soient (V₁, ρ¹) une représentation d'un groupe G₁ et (V₂, ρ²) une représentation d'un groupe G₂. Leur produit tensoriel est la représentation (V₁⊗V₂, ρ¹⊗ρ²) du groupe produit G₁×G₂ définie par :

(\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})_{(s,t)}=(\rho ^{1})_{s}\otimes (\rho ^{2})_{t}.

Représentations d'un même groupe par produit tensoriel[modifier | modifier le code]

Soient (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) deux représentations d'un groupe G. Leur produit tensoriel (V₁⊗V₂, ρ¹⊗ρ²) peut désigner (selon le contexte) ou bien la représentation de G×G définie dans la section précédente, ou bien la représentation de G déduite de celle-ci par composition avec le morphisme diagonal de G dans G×G :

(\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})_{s}=(\rho ^{1})_{s}\otimes (\rho ^{2})_{s}.

Les carrés symétrique et alterné d'une représentation (V, ρ) de G sont les deux sous-représentations, sur Sym(V) et Alt(V), de la représentation ρ⊗ρ de G.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Caractères[modifier | modifier le code]

Le caractère d'une représentation de G₁×G₂ de la forme ρ¹⊗ρ² est le produit tensoriel des caractères de ρ¹ et ρ².
Le caractère d'une représentation de G de la forme ρ¹⊗ρ² est le produit des caractères de ρ¹ et ρ².

Représentations irréductibles d'un groupe produit[modifier | modifier le code]

On suppose ici que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre du groupe G₁×G₂, et que le polynôme X^e - 1, où e désigne l'exposant de ce groupe, est scindé sur K.

On s'intéresse particulièrement aux représentations irréductibles car elles forment une base de toutes les autres (cf théorème de Maschke).

Toute représentation irréductible de G₁×G₂ est de la forme ρ¹⊗ρ², et une représentation de cette forme est irréductible si et seulement si ρ¹ et ρ² le sont.

(Ceci contraste avec la somme directe ρ¹⊕ρ², qui n'est jamais irréductible, car V₁ x {0} et {0} x V₂ sont toujours des sous-espaces invariants.)

Cette propriété résulte immédiatement de la structure des algèbres des groupes G₁ et G₂, en remarquant que leur produit tensoriel est isomorphe à l'algèbre du groupe produit. Dans le cas particulier où K est de caractéristique nulle, elle peut aussi se démontrer en étudiant les caractères irréductibles.