Groupe des quaternions

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Graphe des cycles de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d'un élément quelconque connecté à l'élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i 2 = -1, i 3 = -i  et i 4 = 1. Le cycle rouge reflète aussi le fait que (-i )2 = -1, (-i )3 = i  et (-i )4 = 1.

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est un cas particulier de groupe non abélien d'ordre 8.

La représentation du groupe des quaternions irréductible de dimension 4 sur les nombres réels forme un corps gauche, c'est-à-dire non commutatif. Il est appelé corps des quaternions.

Définition[modifier | modifier le code]

Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symbole Q ou Q8 et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants :

Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}\,

Ici, 1 est l'élément neutre, (- 1)^2 = 1\, et ( - 1).a = a.(- 1) = - a\, pour tout a dans Q. Les règles de multiplication restantes peuvent être obtenues à partir de la relation suivante :

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,

Table du groupe[modifier | modifier le code]

La table de multiplication pour Q est donnée par :

1 i j k -1 -i -j -k
1 1 i j k -1 -i -j -k
i i -1 k -j -i 1 -k j
j j -k -1 i -j k 1 -i
k k j -i -1 -k -j i 1
-1 -1 -i -j -k 1 i j k
-i -i 1 -k j i -1 k -j
-j -j k 1 -i j -k -1 i
-k -k -j i 1 k j -i -1

Le groupe ainsi obtenu est non commutatif comme on peut le voir sur la relation ij = - ji\,. Cependant Q est un groupe hamiltonien : chaque sous-groupe de Q est un sous-groupe normal, mais le groupe est non abélien. Chaque groupe hamiltonien contient une copie de Q.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Représentation[modifier | modifier le code]

Considérant un espace vectoriel réel de dimension quatre dont une base est notée {1, i, j, k}, on la munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps gauche appelé les corps des quaternions. Inversement, on peut démarrer avec les quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments {1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k}\,.

La théorème d'Artin-Wedderburn généralise cette approche. Il permet, avec la théorie des représentations d'un groupe fini de construire des algèbres semi-simples contenant un corps gauche, c'est-à-dire non commutatif.

Nature du groupe[modifier | modifier le code]

Les trois éléments i, j et k sont tous d'ordre 4 dans Q et deux quelconques d'entre eux engendrent le groupe entier. Q admet la présentation

\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle

On peut prendre, par exemple, x = i et y = j.

Le centre et le sous-groupe des commutateurs de Q est le sous-groupe {±1}. Le groupe quotient Q/{±1} est isomorphe au groupe de Klein V. Les classes de conjugaison sont au nombre de cinq : {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j} et {k, -k}.

Le groupe des automorphismes intérieurs de Q est isomorphe à Q modulo son centre, et est par conséquent aussi isomorphe au groupe de Klein. Le groupe des automorphismes de Q est isomorphe à S4, le groupe symétrique sur quatre lettres. Le groupe des automorphismes extérieurs de Q est alors S4/V qui est isomorphe à S3. Le groupe des quaternions Q peut être vu comme agissant sur les 8 éléments non nuls de l'espace vectoriel à 2 dimensions sur le corps fini F3[1]

Groupe de quaternions généralisé[modifier | modifier le code]

Un groupe est appelé un groupe de quaternions généralisé s'il possède une présentation

Q_{2^n}=\langle x,y \mid x^{2^{n-1}} = 1, x^{2^{n-2}} = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle

pour un certain entier n ≥ 3. L'ordre de ce groupe est 2n. Le groupe de quaternions ordinaire correspond au cas n = 3. Le groupe de quaternions généralisé peut être réalisé comme le sous-groupe des quaternions unités engendré par

x = e^{2\pi i/2^{n-1}}
y = j\,

Un tel groupe peut être mis en relation avec un groupe diédral d'ordre 2n-1 par la suite exacte :

1\to <a>\to Q_{2^n}\to D_{2^{n-1}}\to 1

Les groupes de quaternions généralisés sont membres d'une famille encore plus large de groupes dicycliques (en). Les groupes de quaternions généralisés ont la propriété que chaque sous-groupe abélien est cyclique. On peut prouver[2] qu'un p-groupe fini possédant cette propriété (chaque sous-groupe abélien est cyclique) est soit un groupe cyclique soit un groupe de quaternions généralisé comme défini ci-dessus.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une image, voir Visualisation de GL(2,p).
  2. Pour une démonstration, voir par exemple I. M. Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, théorème 6.12, p. 189 (dont le présent énoncé se déduit immédiatement), ou encore H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, énoncé 5.3.8, p. 115.

Voir aussi[modifier | modifier le code]