Produit libre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés.

Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K.

On définit de même le produit libre d'une famille (Gi)i∊I de groupes. Lorsque tous les Gi sont égaux à , leur produit libre est le groupe libre FI.

Définition[modifier | modifier le code]

Si G et H sont deux groupes, leur produit libre G∗H est défini comme le groupe (unique à isomorphisme près), dans lequel les groupes G et H s'injectent (i:G→G∗H et j:H→G∗H) avec la propriété universelle suivante :

Pour tout groupe K, pour tous morphismes g:G→K et h:H→K, il existe un unique morphisme f:G∗H→K qui prolonge à la fois g et h, c'est-à-dire tel que f∘i=g et f∘j=h.

Autrement dit, le produit libre est le coproduit (ou somme) dans la catégorie des groupes, par opposition au produit direct d'une famille de groupes, qui est un exemple de produit en théorie des catégories.

Cette définition s'étend en remplaçant (G,H) par une famille quelconque de groupes.

Construction[modifier | modifier le code]

L'unicité de G∗H est assurée par sa propriété universelle. Justifions son existence.

Un mot sur G et H est un produit formel s1s2sn où chaque si est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :

  • effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
  • remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément : leur produit dans G, ou une succession de deux éléments de H par leur produit dans H.

Tout mot ainsi réduit est formé par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H, par exemple g1h1g2h2gkhk (ou encore g1h1g2h2hk-1gk, ou h1g1h2g2hkgk, ou enfin h1g1h2g2gk-1hk).

Le produit libre G∗H est l'ensemble de ces mots réduits, muni de l'opération de concaténation puis réduction. Un produit libre est donc toujours infini, sauf bien sûr le produit libre d'un groupe fini par des groupes triviaux.

Présentations[modifier | modifier le code]

Si G et H sont décrits par générateurs et relations

G = \langle R_G \mid S_G \rangle\quad\text{et}\quad H = \langle R_H \mid S_H \rangle

alors une présentation de G∗H est :

G * H = \langle R_G \cup R_H \mid S_G \cup S_H \rangle.

Par exemple :

  • si G est le groupe cyclique d'ordre 2 et H celui d'ordre 3 :
    G = \langle x \mid x^2 = 1 \rangle,\quad H = \langle y \mid y^3 = 1 \rangle,
    alors G∗H=ℤ2∗ℤ3 est le groupe
    G * H = \langle x, y \mid x^2 = y^3 = 1 \rangle,
    isomorphe au groupe projectif spécial linéaire PSL(2,ℤ) ;
  • comme il n'y a aucune relation dans un groupe libre, tout produit libre de groupes libres est un groupe libre. Plus précisément, le groupe libre Fα de rang α est le produit libre de α copies de , et le produit libre de Fα par Fβ est isomorphe à Fα+β.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Produit libre amalgamé[modifier | modifier le code]

De même que le produit libre est la somme dans la catégorie des groupes, le produit libre amalgamé, qui le généralise, est défini comme la somme amalgamée dans cette catégorie.

Soient G et H deux groupes, et F un troisième groupe, muni de morphismes φ:F→G et ψ:F→H. On peut construire le produit libre amalgamé G∗FH de G et H au-dessus de F à partir du produit libre G∗H en quotientant par les relations φ(f)=ψ(f). Un peu plus formellement : G∗FH est le quotient de G∗H par le sous-groupe normal engendré (en) par les φ(f) ψ(f)-1 quand f parcourt F (on ne va pas jusqu'à formaliser les injections canoniques de G et H dans G∗H, qu'on assimile à des inclusions).

Par exemple, SL(2,ℤ) est un produit libre amalgamé de deux groupes cycliques d'ordres 4 et 6 au-dessus d'un sous-groupe d'ordre 2.

Produit libre d'algèbres[modifier | modifier le code]

On peut définir de même le produit libre pour d'autres structures algébriques que les groupes, comme les algèbres associatives (sur un anneau commutatif donné). En théorie des probabilités libres (de), ce produit libre d'algèbres de variables aléatoires joue le même rôle, pour définir l'indépendance libre (en), qu'en théorie classique des probabilités le produit tensoriel (correspondant au produit des espaces mesurés sous-jacents), pour définir l'indépendance.

Applications[modifier | modifier le code]

En topologie algébrique, le théorème de van Kampen établit (sous certaines hypothèses de connexité par arcs) que le groupe fondamental d'un bouquet de deux espaces pointés est le produit libre de leurs groupes fondamentaux et plus généralement, que le groupe fondamental d'une réunion de deux ouverts est un produit libre amalgamé de leurs groupes fondamentaux.

En théorie de Bass-Serre (en), on montre que tout groupe muni d'une action à stabilisateurs finis sur un arbre peut être construit à partir de groupes finis par produits libres amalgamés et extensions HNN. Par exemple, l'action du groupe modulaire sur un certain pavage du plan hyperbolique permet d'exprimer ce groupe sous la forme ℤ426.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]