Mesure spectrale

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En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, une mesure spectrale est une application définie sur une tribu à valeurs dans l'espace des projections orthogonales d'un espace hilbertien et vérifiant des axiomes semblables à ceux qui définissent les mesures positives. Les mesures spectrales sont utilisées pour exprimer des résultats en théorie spectrale, tels que le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints.

Les mesures spectrales ont des propriétés similaires aux mesures réelles positives.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit (X, \mathcal{A}) un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble X muni d'une tribu \mathcal{A}. Une mesure spectrale, aussi appelée homorphisme spectral, est une application \varphi définie sur l'algèbre \mathcal{M} des fonctions complexes mesurables bornées sur X ayant les propriétés suivantes:

  1. \varphi est un morphisme involutif de l'algèbre \mathcal{M} dans l'algèbre involutive des opérateurs bornés dans un espace hilbertien \mathfrak{H}
  2. Si  \xi \in \mathfrak{H}, alors la fonction d'ensemble
 \nu(E) = \langle \varphi(E) \xi \mid \xi\rangle
est une mesure a valeurs complexes.