En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont par exemple la transformée de Fourier.
Définition formelle
Soient un ensemble, un espace mesuré et
une application telle que pour tout élément de , l'application
soit intégrable.
Alors l'application définie par :
est appelée une intégrale paramétrique.
Le plus souvent, dans les applications :
Exemples
Transformée de Fourier
Soit une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :
où désigne le produit scalaire usuel.
Fonction gamma d'Euler
La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel strictement positif, par :
Potentiel du champ de gravitation
Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel de densité variable en un point de ℝ3 extérieur à est donné par :
où désigne la constante de gravitation et la norme euclidienne.
Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est une partie de ℝ, que est un réel adhérent à , et que :
- ;
- il existe une application intégrable telle que
.
Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que
soit encore :
- Remarques.
- La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout , sous réserve que l'espace mesuré soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
- La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable telle que pour chaque élément de appartenant à un certain voisinage de on ait : presque partout.
- Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
- L'énoncé ci-dessus, même ainsi affaibli, reste vrai quand est une partie d'un espace métrique autre que ℝ.
Démonstration
Soit une suite dans qui converge vers . La suite de fonctions intégrables converge simplement vers φ et on a par la seconde hypothèse :
Le théorème de convergence dominée entraîne alors l'intégrabilité de φ et les relations :
Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que appartient à (donc pour tout , est continue au point et ), on en déduit que est continue en .
Continuité globale : par conséquent, si est continue sur avec partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien, alors est définie et continue sur .
Démonstration
Pour tout élément de , est continue sur le compact , donc intégrable sur pour la mesure de Lebesgue, si bien que est définie sur .
Soit . Pour tout , est continue sur . De plus, si est un voisinage compact de dans alors, par continuité de , il existe une constante telle que :
En prenant dans la proposition précédente, ceci prouve que est continue en .
La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz ).
Étude locale
Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est un intervalle de ℝ et que :
- pour tout , est dérivable sur ;
- il existe une application intégrable telle que
.
Alors, pour tout l'intégrale paramétrique est dérivable au point , l'application est intégrable, et :
Démonstration
Fixons et posons, pour tout et tout réel non nul tel que :
On a alors :
- ;
- (d'après l'inégalité des accroissements finis).
L'énoncé de la section « Limite » permet de conclure.
Étude globale
Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » ( est continue sur avec partie localement compacte de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que est définie et continue sur , alors est de classe C1 sur et pour tout , on a :
Forme générale unidimensionnelle
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.
Soit telle que et soient continues sur ℝ2, et soient et deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Si est l'« intégrale paramétrique » (généralisée) définie sur ℝ par :
alors est dérivable et
Remarque : pour une fonction qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant et .
Démonstration
Soit l'application de ℝ3 dans ℝ définie par :
Du théorème fondamental de l'analyse, on déduit :
et en appliquant la règle de Leibniz, on a :
Comme , le théorème de dérivation des fonctions composées donne :
En remplaçant les trois dérivées partielles de par leurs valeurs, on trouve l'identité annoncée.
Soient par exemple une partie de ℝp, une partie de ℝq, et
une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction est intégrable pour presque tout de , l'intégrale paramétrique définie par
est intégrable sur , et on a :
(et même chose en intervertissant les rôles de et ).
Exemples de calcul
Calculs élémentaires
Intégrale de Gauss
L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :
Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.
Références