Intégrale paramétrique

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont par exemple la transformée de Fourier.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient un ensemble, un espace mesuré et

une application telle que pour tout élément de , l'application

soit intégrable.

Alors l'application définie par :

est appelée une intégrale paramétrique.

Le plus souvent, dans les applications :

Exemples[modifier | modifier le code]

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Soit une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :

désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler[modifier | modifier le code]

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel strictement positif, par :

Potentiel du champ de gravitation[modifier | modifier le code]

Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel de densité variable en un point de ℝ3 extérieur à est donné par :

désigne la constante de gravitation et la norme euclidienne.

Limite[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Limite.

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est une partie de ℝ, que est un réel adhérent à , et que :

  •  ;
  • il existe une application intégrable telle que
.

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que

soit encore :

Remarques.
  • La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout , sous réserve que l'espace mesuré soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
  • La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable telle que pour chaque élément de appartenant à un certain voisinage de on ait : presque partout.
  • Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
  • L'énoncé ci-dessus, même ainsi affaibli, reste vrai quand est une partie d'un espace métrique autre que ℝ.

Continuité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Continuité.

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que appartient à (donc pour tout , est continue au point et ), on en déduit que est continue en .

Continuité globale : par conséquent, si est continue sur avec partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien, alors est définie et continue sur .

Dérivabilité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivabilité.

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz Page d'aide sur l'homonymie).

Étude locale[modifier | modifier le code]

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est un intervalle de ℝ et que :

  • pour tout , est dérivable sur  ;
  • il existe une application intégrable telle que
.

Alors, pour tout l'intégrale paramétrique est dérivable au point , l'application est intégrable, et :

Étude globale[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » ( est continue sur avec partie localement compacte de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que est définie et continue sur , alors est de classe C1 sur et pour tout , on a :

Forme générale unidimensionnelle[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit f : ℝ2 → ℝn telle que f et soient continues sur ℝ2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) F définie sur ℝ par :

est dérivable et

Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x) = a et b(x) = b.

Théorème de Fubini[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Fubini.

Soient par exemple une partie de ℝp, une partie de ℝq, et

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction est intégrable pour presque tout de , l'intégrale paramétrique définie par

est intégrable sur , et on a :

(et même chose en intervertissant les rôles de et ).

Exemples de calcul[modifier | modifier le code]

Calculs élémentaires[modifier | modifier le code]

Exemple :

On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels et strictement positifs :

.
Exemple :

Soient , et définie sur par . Elle est intégrable sur puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :

et

.

Intégrale de Gauss[modifier | modifier le code]

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.

Références[modifier | modifier le code]