Règle du produit

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.

En analyse, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. On peut l'énoncer ainsi :

Soit  f et  g des fonctions différentiables en  x alors leur produit  (f\cdot g) est aussi différentiable en  x et

 \left(f\cdot g\right)' = f'\cdot g+f\cdot g'.

En notation de Leibniz cela revient à écrire :

{\mathrm d\over\mathrm dx}(f\cdot g)={\mathrm df\over\mathrm dx}\cdot g+f\cdot{\mathrm dg\over\mathrm dx}.

Une application importante de la règle du produit est la règle d'intégration par parties.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit  h une fonction définie par :

 h\left(x\right) = (x+1)(x^2+ 1)

Pour trouver la dérivée  h' de  h avec la règle du produit, on pose  f(x) = x+1 et  g(x) = (x^2+1) . Les fonctions  h ,  f et  g sont partout dérivables en tant que fonctions polynomiales.

On a alors :

 \displaystyle h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
 = \displaystyle(x^2+1) + (x+1)(2x)
 = \displaystyle 3x^2+2x+1

Par ailleurs, ici, on peut développer l'expression de  h  :

 h\left(x\right) = x^3+x^2+x+1

Expression qui est une somme que l'on dérive alors terme à terme pour retrouver :

 \displaystyle h'(x) = 3x^2+2x + 1

Démonstration de la règle du produit[modifier | modifier le code]

Démonstration analytique[modifier | modifier le code]

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement.

On montre la relation en un point x_0 quelconque appartenant aux domaines de dérivabilité de f et de g. Le taux d'accroissement de fg s'écrit en ce point :

T_{fg}(x,x_0)=\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

En retranchant et en ajoutant f(x_0)g(x) on obtient alors :

T_{fg}(x,x_0)=\frac{f(x)g(x)\overbrace{-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)}^0-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

En factorisant les termes, on reconnaît les taux de variation de f et g :

T_{fg}(x,x_0)=\underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{T_f(x, x_0)}g(x)+f(x_0)\underbrace{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}_{T_g(x, x_0)}.

Sachant qu'en x_0, la dérivabilité de g implique sa continuité, les règles sur les limites de produits et de sommes permettent de conclure :

\bigl(fg\bigr)'(x_0)=\lim_{x\to x_0}T_{fg}(x,x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0).

Démonstration géométrique[modifier | modifier le code]

Figure 1: Illustration géométrique de la règle du produit

Soit  f et  g des fonctions différentiables en  x , soit encore  u = f(x) et  v = g(x) de telle sorte que l'aire  uv du rectangle (cf. Figure 1) représente  f(x)g(x) .

Si  x varie d'une quantité  \Delta x , les variations correspondantes en  u et  v sont respectivement  \Delta u et  \Delta v .

La variation de l'aire du rectangle est alors :

 \Delta\left(uv\right) = (u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv
 = \left(\Delta u\right)v + u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v)

C'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par  \Delta x et en prenant la limite avec  \Delta x \rightarrow 0 , on obtient :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(uv)=\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right)v+u\left(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\right).

Étant donné que

\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\Delta v=\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\times0=0,

cela clôt la démonstration.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Produit de plusieurs fonctions[modifier | modifier le code]

Soient f_1, \dots, f_n des fonctions dérivables en  x , on a alors :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\prod_{i=1}^nf_i(x)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f_i(x)\prod_{j\ne i}f_j(x)\right)

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

Exemple[modifier | modifier le code]

Avec trois fonctions f, g et h, dérivables en x, on a :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(fgh)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}gh+f\frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}h+fg\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx},

soit par exemple, pour trouver la dérivée de (x+1)(x^2+1)(\sqrt x-2) :

\left((x+1)(x^2+1)(\sqrt x-2)\right)'=(x^2+1)(\sqrt x-2)+(x+1)(2x)(\sqrt x-2)+(x+1)(x^2+1)\left(\frac1{2\sqrt x}\right).

Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)[modifier | modifier le code]

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.

Soient n un entier supérieur ou égal à 1, et f et g deux fonctions n fois dérivables en un certain point x, alors leur produit fg est aussi n fois dérivable au point x, et la dérivée d'ordre n est donnée par :

(f g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom nk\ f^{(k)}(x)\ g^{(n-k)}(x)

où les nombres entiers \tbinom nk sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de f, notée f^{(0)}, est la fonction f elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur n. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs se déduire de la formule de Leibniz, appliquée à f(x)=\exp(ax) et g(x)=\exp(bx).

Exemple[modifier | modifier le code]

Avec  n = 2 on a :

\displaystyle (fg)''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)

Soit pour trouver la dérivée seconde de  \displaystyle (x^2+1)\sin(x) :

 \displaystyle ((x^2+1)\sin(x))'' = 2\sin(x) + 4x\cos(x) - (x^2+1)\sin(x)

Dimensions supérieures[modifier | modifier le code]

On peut généraliser la règle du produit à des fonctions de dimensions supérieures : soient U un ouvert de ℝn, u, v \colon U\to\R des fonctions différentiables et x un vecteur quelconque de ℝn.

La règle du produit s'écrit alors, en termes de dérivées directionnelles suivant x :

D_x(uv) = \left(D_xu\right)\cdot v + u\cdot D_xv.

Fonctions holomorphes[modifier | modifier le code]

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Soient U un ouvert de ℂ et  f, g\colon U\to\C des fonctions holomorphes, alors  (f\cdot g) est holomorphe et

 \displaystyle (f\cdot g)' = f'g + fg'.

Règle du produit dans des espaces de Banach[modifier | modifier le code]

Soit X, Y, et Z des espaces de Banach (ce qui inclut les espaces euclidiens) et  B : X\times Y \rightarrow Z un opérateur bilinéaire continu. Alors, B est différentiable et sa dérivée au point (x,y) dans  X \times Y est l'application linéaire  D_{(x,y)}B : X\times Y \rightarrow Z définie par :

 (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.

Fonctions vectorielles[modifier | modifier le code]

La règle du produit pour les fonctions vectorielles dont le produit est encore un vecteur doit tenir compte de la non-commutativité d'un produit de vecteurs.

Soient U, un ouvert de ℝn et f,g\colon U\to\R^m des fonctions vectorielles différentiables, alors (fg)'=f'g+fg' et pas (fg)'=f'g+g'f, même si cette dernière expression est correcte dans le cas de fonctions scalaires.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]