Fonction multiplicative

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En arithmétique, une fonction multiplicative[1] est une fonction arithmétique f : ℕ* vérifiant les deux conditions suivantes :

Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :

  • g(1) = 1 ;
  • pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).

Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.

Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.

Détermination et exemples[modifier | modifier le code]

Une fonction multiplicative ƒ est entièrement déterminée par ses valeurs en les puissances non nulles des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n > 0 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre près des facteurs :

n=\prod_{i=1}^rp_i^{k_i}

où les pi sont des nombres premiers et les ki des entiers naturels, avec (pour assurer l'unicité) : la suite finie des pi est strictement croissante et chaque ki (appelé la valuation pi-adique de n) est non nul.

En appliquant ƒ, il vient :

f(n)=\prod_{i=1}^rf(p_i^{k_i}).

Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite de nombres complexes indexée par les puissances non nulles des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.

Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :

g(n)=\prod_{i=1}^rg(p_i)^{k_i}.

Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions complètement multiplicatives.

Exemples[modifier | modifier le code]

La liste suivante fournit des fonctions dont l'intérêt est historique et/ou théorique :

Exemples de fonctions complètement multiplicatives 
Exemples de fonctions seulement multiplicatives 

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

La multiplicativité et la complète multiplicativité sont préservées par produit, module et conjugaison.

Dans leur définition, la première condition (l'image de 1 est égale à 1) peut être remplacée par : la fonction est non nulle.

Si ƒ est multiplicative alors

\forall a,b\in\N^*,\quad f(a)~f(b)=f({\rm pgcd}(a,b))~f({\rm ppcm}(a,b))

pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers.

Convolution de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Convolution de Dirichlet.

La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒg définie par :

\forall n\in\N^*\quad (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)

où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n.

On démontre alors que si ƒ et g sont multiplicatives, ƒg l'est aussi, et que l'ensemble des fonctions multiplicatives, muni de cette loi interne, est un groupe abélien, d'élément neutre δ1.

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

  • μ ✻ 1 = δ1,
  • Jk1 = Idk et (par inversion de Möbius) Jk = μ ✻ Idk, en particulier
    • φ ✻ 1 = Id et φ = μ ✻ Id,
  • σk = Idk1 et (par inversion de Möbius) Idk = σk ✻ μ, en particulier
    • d = 11 et 1 = d ✻ μ,
    • σ = Id1 et Id = σ ✻ μ,
  • σk = Jkd (via Idk1 = Jk11), en particulier
    • σ = φ ✻ d.

Produit eulérien[modifier | modifier le code]

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série de Dirichlet :

\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}.

Si f est complètement multiplicative, on a :

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}&=\sum_{\nu\in\N^{(\mathcal{P})}}\prod_{p\in\mathcal{P}}\frac{f(p)^{\nu_p}}{p^{s\nu_p}}\\&=\prod_{p\in\mathcal{P}}\sum_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{f(p)}{p^s}\right)}^k\\&=\prod_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}~.\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Multiplicative function » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) Pete L. Clark, « Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions », sur UGA, MATH 4400,‎ 2011.

Articles connexes[modifier | modifier le code]