Fonction multiplicative

En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f de l'ensemble des entiers naturels non nuls dans lui-même vérifiant les deux conditions suivantes :

• f(1)=1 ;
• Pour tous entiers premiers entre eux a et b, on a : f (a.b) = f(a).f (b).

Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :

• g(1)=1 ;
• pour tous entiers a et b quelconques, on a : g(a.b)=g(a).g(b).

Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative pour fonction complètement multiplicative.

Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.

Détermination et exemples

Une fonction multiplicative f est entièrement déterminée par les valeurs de f en les puissances des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier naturel s'écrit comme produit de facteurs premiers, unique à permutation des termes près. Si n est un entier on a, en notant $\mathcal{P}$ l'ensemple des nombres premiers :

$n=\prod_{p\in\mathcal{P}}p^{v_p(n)}$

où l'entier v_p(n) est uniquement déterminé par n et s'appelle la valuation p-adique de n. En appliquant f, il vient :

$f(n)=\prod_{p\in\mathcal{P}}f\left(p^{v_p(n)}\right)$.

Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite d'entiers indexée par les puissances des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.

Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :

$g(n)=\prod_{p\in\mathcal{P}}g(p)^{v_p(n)}$.

Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions multiplicatives.

En général, si f est une fonction multiplicative et si a, b sont deux nombres entiers naturels non nuls quelconques, alors on a :

$f(a).f(b)=f(pgcd(a,b)).f(ppcm(a,b))\,$,

où pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers.

Exemples

La liste suivante fournit des fonctions multiplicatives dont l'intérêt est historique et/ou théorique :

• φ : la fonction φ d'Euler, qui associe à tout entier positif n le nombre d'entiers naturels premiers avec n et inférieurs à cet entier naturel,
• μ : la fonction de Möbius, relative au nombre de facteurs premiers des entiers sans carré,
• $n\mapsto\left (pgcd(n,m)\right)$ : qui à l'entier n associe le plus grand commun diviseur des entiers m et n, m étant fixé,
• d : qui associe à un entier naturel n, le nombre de diviseurs positifs de n,
• σ : la fonction somme des diviseurs qui associe à un entier n la somme de tous les diviseurs positifs de n,
• σ_k : qui associe à un entier n, la somme des puissances k-ièmes de tous les diviseurs positifs de n (où k peut être un nombre complexe quelconque). Dans les cas particuliers suivants nous avons
  • σ₀(n) = d(n) et
  • σ₁(n) = σ(n),
• 1 : la fonction constante, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, 1(n) = 1$ (complètement multiplicative)
• Id : l'application identité, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \operatorname{Id}(n) = n$ (complètement multiplicative)
• Id_k : la fonction puissance, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \operatorname{Id}_k(n) = n^k$, où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe) (complètement multiplicative). Nous avons les cas particuliers suivants
  • Id₀(n) = 1(n) et
  • Id₁(n) = Id(n),
• ε : la fonction définie par, ε(1) = 1 et pour tout entier naturel n>1, ε(n)= 0, parfois appelée élément neutre pour le produit de convolution de Dirichlet (complètement multiplicative).
• $n\mapsto\left(\frac{n}{p}\right)$, l'application qui associe à un entier naturel n, le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé (complètement multiplicative),
• λ : la fonction de Liouville, relative au nombre de facteurs premiers divisant un entier naturel n (complètement multiplicative).
• γ : définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \gamma(n)=(-1)^{\omega(n)}$, où la fonction additive ω associe à un entier naturel n le nombre de nombres premiers distincts divisant n,
• Tous les caractères de Dirichlet sont des fonctions complètement multiplicatives.

Un exemple d'une fonction non multiplicative est la fonction arithmétique r₂ qui à un entier n, associe le nombre de décompositions de n sous la forme d'une somme de deux carrés de nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, en tenant compte de l'ordre dans les écritures. Par exemple

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

et donc r₂(1)=4≠1. Ceci prouve que la fonction n'est pas multiplicative. Cependant, $\frac{r_2}{4}$ est multiplicative.

Séries de Dirichlet

Si f et g sont deux fonctions multiplicatives, on définit une nouvelle fonction multiplicative f * g, appelée convolution de Dirichlet de f et g, comme suit :

$\forall n\in\mathbb{N}^*\quad (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$,

où la somme portant sur tous les diviseurs positifs d de n.

En effet, introduisons n et m deux entiers premiers entre eux. Leurs décompositions en facteurs premiers ne comportent aucun nombre premier commun. Si d est un diviseur de n.m, alors tout diviseur premier p de d divise n.m et donc par le lemme d'Euclide ou bien n ou bien m. Par regroupement de facteurs premiers, l'entier d s'écrit de manière unique d=d₁.d₂ comme produit de deux nombres entiers premiers d₁ etd₂ divisant respectivement n et m. Par définition :

$(f*g)(n.m)=\sum_{d|nm}f(d)g\left(\frac{nm}{d}\right)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1d_2)g\left(\frac{n}{d_1}.\frac{m}{d_2}\right)$.

Or, comme f et g sont elles-mêmes supposées multiplicatives :

$(f*g)(n.m)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\frac{m}{d_2}\right)$,

$(f*g)(n.m)=\left[\sum_{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)\right].\left[\sum_{d_2|m}f(d_2)g\left(\frac{m}{d_2}\right)\right]$,

$(f*g)(n.m)=(f*g)(n).(f*g)(m)$.

C'est précisément l'égalité attendue.

Avec cette opération, l'ensemble de toutes les fonctions multiplicatives se transforme en groupe abélien; l'élément neutre est $\epsilon$.

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

• $\epsilon$ = $\mu$ * 1 (la formule d'inversion de Möbius)
• $\phi$ = $\mu$ * Id
• d = 1 * 1
• $\sigma$ = Id * 1 = $\phi$ * d
• $\sigma$_k = Id_k * 1
• Id = $\phi$ * 1 = $\sigma$ * $\mu$
• Id_k = $\sigma$_k * $\mu$

La convolution de Dirichlet peut être définie pour des fonctions arithmétiques générales, et leur confère une structure d'anneau commutatif : l'anneau de Dirichlet.

Produit eulérien

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série de Dirichlet :

$\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}$.

Si f est complètement multiplicative, on a :

$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}&=\sum_{\nu\in\N^{(\mathcal{P})}}\prod_{p\in\mathcal{P}}\frac{f(p)^{\nu_p}}{p^{s\nu_p}}\\&=\prod_{p\in\mathcal{P}}\sum_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{f(p)}{p^s}\right)}^k\\&=\prod_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}~.\end{align}$

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