Dénombrement

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion de dénombrement comme recensement de la population en France sous l'Ancien Régime.

En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.

Perception immédiate[modifier | modifier le code]

Face à une collection d'au plus quatre objets, l'être humain et peut-être certains animaux[1] semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène, aussi appelé subitizing (en), peut être étendu au-delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d'un . Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.

Symbolisation par une même quantité[modifier | modifier le code]

Les premières évaluations de quantités n'ont pas nécessairement été exprimées à l'aide d'un nombre ou d'une notation chiffrée. Or, de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l'évolution d'un troupeau, d'une production manufacturée, des récoltes ou d'une population humaine, notamment dans les corps d'armée. En l'absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d'une collection, par exemple, à l'aide d'une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.

Comptage[modifier | modifier le code]

L'évaluation d'une quantité d'objets à l'aide d'un terme particulier nécessite l'établissement d'une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple)[2]. Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.

Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d'objets de façon à ce que chaque objet ne soit considéré qu'une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes[3] :

  • principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;
  • principe d'ordre stable : les mots-nombres sont toujours récités dans le même ordre ;
  • principe du cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
  • principe d'abstraction : les objets peuvent être de natures différentes ;
  • principe de non pertinence de l'ordre : les objets peuvent être parcourus dans n'importe quel ordre.

Calcul[modifier | modifier le code]

Pour des grandes quantités ou pour des ensembles abstraits et en particulier pour des ensembles mathématiques, le dénombrement se fait à l'aide d'opérations arithmétiques ou de considérations combinatoires.

Propriétés fondamentales[modifier | modifier le code]

  • Principe des tiroirs : si l'on dispose de m ensemble(s) et que l'on y range n objet(s) avec n > m, alors au moins un de ces ensembles contiendra plusieurs objets.
    Exemple : dans une classe de 20 élèves, si tous sont nés la même année, alors plusieurs d'entre eux sont forcément nés le même mois.
  • Cardinal d'un produit cartésien : si un arbre comporte n branche(s) et que celle(s)-ci comporte(nt) chacune p sous-branche(s), alors cet arbre comporte n × p sous-branche(s).
    Exemple en probabilités élémentaires : supposons qu'on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Si l'on tente d'en deviner la couleur (trèfle, carreau, cœur ou pique), on a 1 chance sur 4 de tomber juste. Par ailleurs, si l'on tente d'en deviner la valeur (as, roi, dame, valet, etc.), on a 1 chance sur 13 de tomber juste. Enfin, si l'on tente d'en deviner la couleur et la valeur, on a une chance sur 52 (4 × 13) de tomber juste.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Certaines observations sont relatées dans le premier chapitre de l'Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah, page 22, Éditions Robert Laffont, Paris 1981.
  2. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, page 46, Éditions Robert Laffont, Paris 1981.
  3. D'après les travaux de R. Gellman et C. R. Gallistel, cités dans l'article de Roger Bastien « L'acquisition du nombre chez l'enfant ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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