Fonction bêta de Dirichlet

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la fonction bêta à deux variables.

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est un cas particulier de fonction L de Dirichlet pour le caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie comme la fonction d'une variable complexe s, pour s de partie réelle plus grande que 1, par la série :

 \beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s},

ou par l'intégrale

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^x}{e^{2x} + 1}\,dx.

Dans ces deux cas, les deux formules ne sont valables que pour Re(s)>0.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes:

\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta(s,{{1} \over {4}})-\zeta(s, {{3} \over {4}}) \right).

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch:

\beta(s) = 2^{-s} \Phi(-1,s,{{1} \over {2}}),

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge de façon méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) <1.

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\beta(1-s)

où Γ(s) est la fonction gamma d'Euler.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

\psi^3(1/4) est la fonction polygamma de troisième ordre de 1/4.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

  • \beta(2k+1)\;=\;\frac{E_{2k}}{2(2k)!}(\frac{\pi}{2})^{2k+1},

ou les E_{2k} sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de la fonction bêta de Dirichlet des entiers pairs négatifs sont données aussi par les nombres d'Euler avec:

  • \beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.

Par contre, on ne connaît pas grand-chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. Le nombre \beta(2) est appelé la constante de Catalan.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.