Fonction zêta de Lerch

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En mathématiques, la fonction zêta de Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme. Elle est donnée par

L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty
\frac { e^{2\pi i\lambda n}} {(n+\alpha)^s}

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, qui est donnée par

\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty
\frac { z^n} {(n+\alpha)^s}\,

par

\Phi(e^{2\pi i\lambda}, s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s)\,

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par

\zeta(s,\alpha)=L(0, \alpha,s)=\Phi(1,s,\alpha)\,

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par

\textrm{Li}_s(z)=z\Phi(z,s,1)\,

La fonction chi de Legendre est un cas particulier, donnée par

\chi_n(z)=2^{-n}z \Phi (z^2,n,1/2)\,

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)

Enfin, la fonction êta de Dirichlet admet l'expression

\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Mathias Lerch, Démonstration élémentaire de la formule: \frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}, (1903), L'Enseignement Mathématique, 5, pp.450-453.
  • M. Jackson, On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series \,_2\psi_2, (1950) J. London Math. Soc., 25, pp. 189-196