Caractère de Dirichlet

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859)

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes.

Elle a été découverte par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique[1].

Définitions[modifier | modifier le code]

Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités de l'anneau ℤ/n. Dans le corps ℂ des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté c. Il existe deux définitions d'un caractère de Dirichlet :

Il existe une deuxième définition, le caractère est alors une fonction arithmétique :

  • Un caractère de Dirichlet χ est une fonction de l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs dans ℂ, totalement multiplicative et périodique. Si n est la période et d un entier strictement positif, χ(d) est de module 1 si d est premier avec n et nul sinon.

Les caractères χ de la première définition sont en bijection avec les caractères χ' de la seconde : si la classe dans ℤ/nℤ d'un entier d appartient à U alors χ'(d) est l'image par χ de cette classe et sinon, χ'(d) = 0.

  • Un caractère de Dirichlet sur U est dit primitif s'il ne factorise par le groupe des unités de l'anneau ℤ/dℤ pour aucun diviseur propre d de n. Dans ce cas, n est appelé le conducteur du caractère[2],[3]. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n = 12 de noyau non trivial.
  • Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal (ou caractère de conducteur 1) modulo n.
  • Le caractère de Dirichlet principal modulo 1 (valant 1 sur tous les entiers) est dit caractère trivial.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Caractère d'un groupe fini.

L'ensemble Û des caractères modulo n forme un groupe abélien fini isomorphe à U. En particulier :

Analyse harmonique[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier d'une fonction f de ℂU est la fonction \scriptstyle \widehat f de Û dans ℂ définie par :

\forall \chi \in \widehat U \quad \widehat f (\chi) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{x \in U} f(x)\overline{\chi (x)}.

La théorème de Plancherel exprime l'égalité suivante :

\forall f \in\C^U \quad f = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} \sum_{\chi \in \widehat U} \widehat f (\chi)\chi.

Symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

Les caractères à valeurs réelles sont les morphismes de U dans {–1, 1} (les seules racines réelles de l'unité). Le caractère principal est le morphisme trivial. Les caractères non principaux à valeurs réelles sont les éléments d'ordre 2 du groupe Û, isomorphe à U. Il en existe dès que l'ordre du groupe est pair, donc dès que n > 2 d'après la proposition suivante.

  • Si n est strictement plus grand que 2, alors U est d'ordre pair.
    En effet, si n est divisible par un nombre premier p > 2 alors φ(n) est divisible par le nombre pair p – 1, et sinon, n est égal à 2rr est un entier strictement supérieur à 1 et φ(n) est égal à 2r – 1.

La proposition suivante généralise la construction du symbole de Legendre, qui correspond au cas particulier où n est premier et impair.

Théorème de la progression arithmétique[modifier | modifier le code]

Produit eulérien[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit eulérien.

L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe m de U, ce qui revient à démontrer le théorème de la progression arithmétique.

Dirichlet cherche une fonction ω de S × U dans ℂ, où S désigne le demi-plan complexe des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à 1. La valeur en (s, m) doit fournir suffisamment d'informations pour conclure. Il choisit la fonction suivante, où P désigne l'ensemble des nombres premiers :

\forall s \in\C\quad \forall u\in U\quad \mathrm{Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s,u)=\sum_{p \in \mathcal P}\quad\sum_{k\in\N^*\text{ et }p^k \in u}\frac 1{kp^{ks}}.

Le théorème de Plancherel permet d'exprimer ω sous une autre forme :

\forall s \in\C\quad \forall u \in U \quad \mathrm{Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s,u) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat U}\overline{\chi(u)}\; \log\left(L(s,\chi)\right),\quad\text{avec}\quad L(s,\chi)=\prod_{p \in \mathcal P}\left(1-p^{-s}\chi(p)\right)^{-1}.

La formule finale possède un avantage : le produit n'est plus limité aux nombres premiers dont une puissance appartient à la classe u mais à tous les nombres premiers. Un tel produit porte le nom de « produit eulérien ».

Séries L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : série L de Dirichlet.

Les techniques associés au produit eulérien permettent d'exprimer le produit précédent sous une forme plus simple :

\forall s \in\C\quad \forall \chi \in \widehat U \quad \mathrm{Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty\frac {\chi(n)}{n^s}.
  • La fonction L(s, χ) est appelée « série L de Dirichlet » du caractère χ.

La convergence est absolue si s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction zêta de Riemann et apparaissent comme prééminentes dans l'hypothèse de Riemann généralisée.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduits par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver son théorème sur l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. Lejeune Dirichlet, « Recherches de diverses Applications de l'analyse infinitésimale à la Théorie des Nombres », J. reine angew. Math., vol. 19 et 21,‎ 1839 et 1840
  2. Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique,‎ 2009 (ISBN 978-2-73021563-3, lire en ligne), p. 290
  3. Nicole Berline et Claude Sabbah, La fonction zêta, Éditions École Polytechnique,‎ 2003 (ISBN 978-2-73021011-9, lire en ligne), p. 53