Caractère de Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction souvent notée χ de l'ensemble des congruences sur les entiers dans l'ensemble des nombres complexes particulière.

Elle a été découverte par Dirichlet (1805 - 1859) pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique.

Définitions

Dans cet article n désigne un entier strictement positif. Il existe deux définitions d'un caractère de Dirichlet :

• Un caractère de Dirichlet, souvent noté χ, est un morphisme du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ à valeurs dans le groupe des nombres complexes de module 1.

Selon cette définition un caractère de Dirichlet est simplement un caractère du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ au sens des caractères des groupes.

Il existe une deuxième définition, le caractère est alors une fonction arithmétique :

• Un caractère de Dirichlet χ est une fonction de l'ensemble ℕ^* des entiers strictement positifs dans ℂ, totalement multiplicative, périodique. Si n est la période et d un entier strictement positif, χ(d) est de module 1 si d est premier avec n et nul sinon.

Les deux définitions sont un peu équivalentes. Si χ est un caractère au sens de la première définition et d un entier, au sens de la deuxième définition χ(d) est nul si la classe de d dans ℤ/nℤ n'est pas élément du groupe des unités et vaut l'image par χ de sa classe sinon.

• Le conducteur d'un caractère de Dirichlet est l'entier n définissant l'anneau ℤ/nℤ.
• Un caractère de Dirichlet sur le groupe des unités de ℤ/nℤ est dit primitif s'il ne factorise par le groupe des unités de l'anneau ℤ/dℤ pour aucun diviseur propre d de n. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n=12 de noyau non trivial.
• Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal de conducteur n.
• Le caractère de Dirichlet valant 1 sur tous les entiers est dit caractère trivial.

Propriétés

Propriétés élémentaires

Article détaillé : Anneau Z/nZ.

• Les valeurs non nulles du caractère sont des racines φ(n)^èmes de l'unité si φ désigne l'indicatrice d'Euler.

En effet, l'ordre du groupes des unités de Z/nZ est égal à φ(n), le théorème de Lagrange sur les groupes permet de conclure.

• Le produit de deux caractères est un caractère.
• Si χ est un caractère, alors le conjugué de χ est aussi un caractère, il correspond à son caractère inverse pour la multiplication.
• L'image de l'inverse d'un élément du groupe des unités de Z/nZ par un caractère de Dirichlet est le conjugué de son image.

Ces différentes propriétés montrent que l'ensemble des caractères de conducteur n forme un groupe abélien.

Analyse harmonique

Article détaillé : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini.

• Les caractères de Dirichlet de conducteur n forment un groupe isomorphe au groupe des unités U de Z/nZ.

Cette propriété est le propre de l'ensemble des caractères de tout groupe abélien fini. Elle est démontrée dans le paragraphe Groupe abélien de l'article Caractère d'un groupe fini.

Ici C^U désigne l'ensemble des fonctions du groupe des unités à valeurs complexes. C'est un espace vectoriel complexe. Il peut être muni du produit hermitien noté ici < , > et défini par :

$\forall f,g \in \mathbb C^U \quad < f , g > = \frac 1{\varphi(n)}\sum_{x \in \mathbb U} f(x)^*g(x)$

Ici le conjugué d'un nombre complexe c est noté c^*.

• L'ensemble des caractères de Dirichlet forme une base orthonormale de C^U.

Cette propriété est aussi générale à tout groupe de caractères d'un groupe abélien fini, elle est démontrée dans le paragraphe Algèbre du groupe de l'article Caractère d'un groupe fini.

La transformée de Fourier d'une fonction f de C^U est définie, c'est une fonction notée ici $\scriptstyle \widehat f$ de l'ensemble des caractères, noté ici $\scriptstyle \widehat U$ et à valeurs dans les complexes. Elle vérifie la formule suivante :

$\forall \chi \in \widehat U \quad \widehat f (\chi) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{x \in \mathbb U} f(x)\chi (x)^*$

La théorème de Plancherel exprime l'égalité suivante :

$\forall f \in \mathbb C^U \quad f = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} \sum_{\chi \in \widehat {\mathbb U}} \widehat f (\chi).\chi$

Symbole de Legendre

Article détaillé : Symbole de Legendre.

• Si n est plus grand que deux, alors l'ordre du groupe des unités est pair.

En effet, si p est un nombre premier diviseur de n différent de deux alors p - 1 est un diviseur de φ(n) et p - 1 est pair. Sinon n est égal à 2^r où r est un entier strictement supérieur à 1 et φ(n) est égal à 2^{r - 1}.

• Si n est une puissance d'un nombre premier impair alors il existe un unique caractère non principal à valeurs réelles, c'est le symbole de Legendre.

En effet, si le conducteur est une puissance d'un nombre premier impair, alors le groupe des unités est cyclique (cf le paragraphe Cas où n n'est pas premier de l'article Anneau Z/nZ). L'ordre du groupe multiplicatif est pair, il existe donc un unique élément d'ordre deux. Le groupe des caractères, isomorphe au groupe multiplicatif ne contient lui aussi qu'un élément d'ordre deux.

Si un caractère est à valeurs réelles, comme les valeurs sont des racines de l'unité, elles ne peuvent être égales qu'à 1 ou -1, elle est donc d'ordre deux. Comme il n'existe qu'un élément d'ordre deux, il n'existe qu'un caractère à valeur réelles différent du caractère principal. Or le symbole de Legendre est un caractère non principal. Ce qui termine la démonstration.

Théorème de la progression arithmétique

Produit eulérien

Article détaillé : Produit eulérien.

L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe x de Z/nZ ce qui revient à démontrer le théorème de la progression arithmétique. On remarque que, à l'exception des diviseurs premiers de n, qui sont en nombre fini, ces nombres premiers se trouvent tous dans les classes du groupes des unités noté U. Il est donc utile de choisir x une classe inversible.

Dirichlet cherche une fonction ω de DxU où D désigne le demi-plan complexe des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à un et à valeurs complexes. La valeur en (s, x) doit fournir suffisamment d'informations pour conclure. Il choisit la fonction suivante, où P désigne l'ensemble des nombres premiers :

$\forall s \in \mathbb C \quad \forall x \in \mathbb U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s, x) = \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in x}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s}$

Le théorème de Plancherel permet une expression plus agréable de l'expression :

$\forall s \in \mathbb C \quad \forall x \in \mathbb U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s, x) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(x)^* \; log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg)$

La formule finale possède un avantage : le produit n'est plus limité aux nombres premiers inclus dans la classe x mais à tous les nombres premiers. Un tel produit porte le nom de produit eulérien.

Démonstration

Ici, s désigne un nombre complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à un et x une classe du groupe des unités U. Avant d'établir les convergences, définissons P _l comme l'ensemble des l premiers nombres premiers et m un entier strictement positif. Soit alors ω_lm la fonction définie par :

$\omega_{lm} (s,x) = \sum_{p \in \mathcal P_l \ p^k \in x}\sum_{k=1}^m \frac 1{k(p^k)^s}$

La transformée de Fourier de ω_lm, pour le caractère χ, est définie par :

$(1) \quad \widehat \omega_{lm} (s, \chi) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{u \in \mathbb U} \omega_{s,lm} (u)\chi (u)^* = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{u \in \mathbb U} \sum_{p \in \mathcal P_l \ p^k \in u}\sum_{k=1}^{m} \frac {\chi (p^k)^*}{k(p^k)^s} = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P_l}\sum_{k=1}^{m} \frac 1k \Big( \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^k$

La série suivante est absolument convergente car la norme de la valeur d'un caractère est égale à un et p ^s est, en module, strictement supérieur à un. Elle converge vers un logarithme complexe noté ici log. Le logarithme choisi est tel que l'image de un est égal à zéro et il est bien défini sur le disque de centre un et de rayon un demi.

$(2) \quad \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1k \Big( \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^k = - log \left( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \right) = log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg)$

On en déduit que la suite qui à m associe $\scriptstyle \widehat \omega_{lm}$ est absolument convergente, soit $\scriptstyle \widehat \omega_{l}$ sa limite. L'égalité (1) devient, avec l'expression de l'égalité (2) :

$(3) \quad \widehat \omega_{l} (s, \chi) =\frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P_l} log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P_l} \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg)$

La majoration suivante montre que la suite ($\scriptstyle \widehat \omega_{l}$) est absolument convergente :

$\forall p \in \mathcal P \quad \left| \frac {\chi(p)^*}{p^s} \right| = \frac1{|p^s|} \ \le \ \frac 12 \ \Rightarrow \ \left| log \Bigg( \Big(1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) \right| \le - log \left(1 - \frac1{|p^s|}\right) < \frac2{|p^s|}$

Soit $\scriptstyle \widehat \omega$ la limite on obtient, à partir de la formule (3) :

$\widehat \omega (s,\chi) =\frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P} log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg)$ Ce qui termine la démonstration.

 

Séries L de Dirichlet

Article détaillé : série L de Dirichlet.

Les techniques associés au produit eulérien permettent d'exprimer le produit précédent sous une forme plus plaisante :

$\forall s \in \mathbb C \quad \forall \chi \in \widehat U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac {\chi(k)}{k^s} \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}$

• La fonction L(s, χ) est appelée série L de Dirichlet du caractère χ.

La convergence est absolue si s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction zêta de Riemann et apparaissent comme prééminentes dans l'hypothèse de Riemann généralisée.

Histoire

Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduits par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver le théorème de Dirichlet à propos de l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.

Voir aussi

Liens internes

• Caractère d'un groupe fini
• Analyse harmonique sur un groupe abélien fini
• Dualité de Pontryagin
• Hypothèse de Riemann généralisée

Liens externes

• (en) The life and work of Dirichlet par Jürgen Elstrodt