Fonction zêta de Hurwitz

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En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie comme suit :

\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}.\,.

Elle s'étend par prolongement analytique à tout nombre complexe s différent de 1, et à tout nombre complexe q qui n'est pas entier négatif ou zéro.

Quand q=1, ceci coïncide avec la fonction zêta de Riemann.

Relation avec les fonctions L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires, à coefficients constants, de \zeta(s,q)\,q = r/Q et r = 1, 2, ..., Q. Ceci veut dire que les fonctions zêta de Hurwitz pour un nombre rationnel q ont des propriétés analytiques qui sont étroitement liées à la classe des fonctions L.

Précisément, soit \chi\, un caractère de Dirichlet mod Q. Alors, nous pouvons écrire la fonction L de Dirichlet sous la forme

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s} = 
\frac {1}{Q^s} \sum_{k=1}^Q \chi(k)\; \zeta (s,\frac{k}{Q})
.

Formule de Hurwitz[modifier | modifier le code]

La formule de Hurwitz est le théorème qui énonce

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

est une représentation de zêta qui est valide pour 0\le x\le 1 et s>1. Ici, \mbox{Li}_s (z)\, est la fonction polylogarithme.

Relation avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

La fonction \beta définie ci-dessus généralise les polynômes de Bernoulli :

B_n(x) = -\Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]

\Re z représente la partie réelle de z. De manière alternative,

\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.\,

Relation avec la fonction polygamma[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).\,

Relation avec fonction transcendante de Lerch[modifier | modifier le code]

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty 
\frac { z^k} {(k+q)^s}\,

et ainsi

\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche -et droit- du plan complexe. Pour les nombres entiers 1\leq m \leq n\,,

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = 
\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } 
\sum_{k=1}^n \cos 
\left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\;
\zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\,

reste valable pour toutes les valeurs de s.

Série de Taylor[modifier | modifier le code]

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).\,

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} 
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) =
\sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).\,

Transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Relation avec la fonction thêta de Jacobi[modifier | modifier le code]

Si \vartheta (z,\tau) est la fonction thêta de Jacobi, alors

\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}{t}= 
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) 
\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]\,

reste valable pour \Re s > 0\, et z complexe, mais non pour un nombre entier. Pour z=n un entier, ceci se simplifie en

\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 
2\  \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)
=2\  \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s)\,

\zeta\, ici est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction basée sur z tient compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la Fonction δ de Dirac pour z lorsque t\rightarrow 0.

Bien que la fonction zêta de Hurwitz est vue par les mathématiciens comme relevant de la plus pure discipline des mathématiques, la théorie des nombres, elle apparaît aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).

Références[modifier | modifier le code]