Facteur direct d'un module

Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :

$\quad M=N+P$ et $\quad N\cap P=\{0\}$

Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.

Propriétés

• Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.

• Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.

• Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
  • $\quad p(M)=N$
  • $\quad p^{2}=p$

• Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors $\quad S\subset F$ ou $S\cap F=\{0\}$.

• Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tous ses sous-modules soient facteurs directs. C'est toujours le cas si A est un corps.

Voir aussi

Sous-espace supplémentaire