Distance entre deux points sur le plan cartésien

Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.

Soient $A$ et $B$ deux points dans le plan cartésien, $(x_{A},y_{A})$ les coordonnées du point $A$ et $(x_{B},y_{B})$ les coordonnées du point $B$. Alors la distance $AB$ sur le plan vaut :

$AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$

Démonstration

Soit $C$ le point de coordonnées $(x_{A},y_{B})$.

$x_{A}=x_{C}\Rightarrow AC=|y_{C}-y_{A}|$ et $(AC)$ est verticale ;

$y_{B}=y_{C}\Rightarrow BC=|x_{C}-x_{B}|$ et $(BC)$ est horizontale ;

donc $(AC)\perp (BC)$.

D'après le théorème de Pythagore,

${\begin{aligned}AB^{2}&=BC^{2}+AC^{2}\\&=|x_{C}-x_{B}|^{2}+|y_{C}-y_{A}|^{2}\\&=|x_{A}-x_{B}|^{2}+|y_{B}-y_{A}|^{2}\\&=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\end{aligned}}$

donc

$AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$

Voir aussi

La notion de distance en mathématiques