Distance entre deux points sur le plan cartésien

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Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.

Soient A et B deux points dans le plan cartésien, (x_A, y_A) les coordonnées du point A et (x_B, y_B) les coordonnées du point B. Alors la distance AB sur le plan vaut :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit C le point de coordonnées cartésiennes (x_A,y_B).

x_A = x_C \Rightarrow AC = |y_C-y_A| et (AC) est verticale ;

y_B = y_C \Rightarrow BC = |x_C-x_B| et (BC) est horizontale ;

donc (AC)\perp(BC).

D'après le théorème de Pythagore,

\begin{align} AB^2 &= BC^2+AC^2\\
&= |x_C-x_B|^2 + |y_C-y_A|^2\\
&= |x_A-x_B|^2 + |y_B-y_A|^2\\
&= (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2\end{align}

donc

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

La notion de distance en mathématiques