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Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient .
lim
x
→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
,
lim
x
→
−
∞
x
e
x
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{x}}{x}}=+\infty ,\quad \lim _{x\to -\infty }x\,{\rm {e}}^{x}=0,}
lim
x
→
+
∞
ln
(
x
)
x
=
0
,
lim
x
→
0
+
x
ln
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0,\quad \lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0.}
Plus généralement, pour tous réels strictement positifs a b [ 1]
lim
x
→
+
∞
e
a
x
x
b
=
+
∞
(
1
)
,
lim
x
→
−
∞
|
x
|
b
e
a
x
=
0
(
2
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{ax}}{x^{b}}}=+\infty \quad (1),\quad \lim _{x\to -\infty }|x|^{b}{\rm {e}}^{ax}=0\quad (2),}
lim
x
→
+
∞
(
ln
(
x
)
)
b
x
a
=
0
(
3
)
,
lim
x
→
0
+
x
a
|
ln
(
x
)
|
b
=
0
(
4
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {(\ln(x))^{b}}{x^{a}}}=0\quad (3),\quad \lim _{x\to 0^{+}}x^{a}\left|\ln(x)\right|^{b}=0\quad (4).}
L'hypothèse a > 0b > 0b ≤ 0
On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé :
∀
n
∈
N
∗
lim
y
→
+
∞
e
y
y
n
=
+
∞
.
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \lim _{y\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}=+\infty .}
n ≥ b
en posant y = ax
∀
x
∈
[
1
/
a
,
+
∞
[
e
a
x
x
b
=
a
b
e
y
y
b
≥
a
b
e
y
y
n
,
{\displaystyle \forall x\in [1/a,+\infty [\quad {\frac {{\rm {e}}^{ax}}{x^{b}}}=a^{b}{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{b}}}\geq a^{b}{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}},}
en posant y = –ax
∀
x
∈
]
−
∞
,
−
1
/
a
]
0
≤
|
x
|
b
e
a
x
=
a
−
b
y
b
e
−
y
≤
a
−
b
/
(
e
y
y
n
)
,
{\displaystyle \forall x\in {]-\infty ,-1/a]}\quad 0\leq |x|^{b}{\rm {e}}^{ax}=a^{-b}{y^{b}}{\rm {e}}^{-y}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right.,}
en posant y = a lnx
∀
x
∈
[
e
1
/
a
,
+
∞
[
0
≤
(
ln
(
x
)
)
b
x
a
=
a
−
b
y
b
e
y
≤
a
−
b
/
(
e
y
y
n
)
,
{\displaystyle \forall x\in [{\rm {e}}^{1/a},+\infty [\quad 0\leq {\frac {(\ln(x))^{b}}{x^{a}}}=a^{-b}{\frac {y^{b}}{{\rm {e}}^{y}}}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right.,}
en posant y = –a lnx
∀
x
∈
]
0
,
e
−
1
/
a
]
0
≤
x
a
|
ln
(
x
)
|
b
=
a
−
b
e
−
y
y
b
≤
a
−
b
/
(
e
y
y
n
)
.
{\displaystyle \forall x\in {]0,{\rm {e}}^{-1/a}]}\quad 0\leq x^{a}\left|\ln(x)\right|^{b}=a^{-b}{\rm {e}}^{-y}y^{b}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right..}
Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.
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![{\displaystyle \forall x\in {]-\infty ,-1/a]}\quad 0\leq |x|^{b}{\rm {e}}^{ax}=a^{-b}{y^{b}}{\rm {e}}^{-y}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023abe74f5a2b2a4ff6b219677777a9361f0f531)
![{\displaystyle \forall x\in {]0,{\rm {e}}^{-1/a}]}\quad 0\leq x^{a}\left|\ln(x)\right|^{b}=a^{-b}{\rm {e}}^{-y}y^{b}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f21e0f55e8fc700ec9a30dd127b7ca35739327)
