Limites de référence

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Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition D \,\! donc si a \in D \,\!, on a \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!.

Fonctions polynômes et rationnelles[modifier | modifier le code]

Fonctions constantes[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \lambda \\
     \end{array}
avec \lambda\in\R
  • \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!

Monômes...[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^n \\
     \end{array}
avec n\in\N^*
  • En +\infty \,\! : \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \,\!
  • En -\infty \,\! :
    • Pour n pair : \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\,\!
    • Pour n impair : \lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\,\!

...et leurs inverses[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \cfrac{1}{x^n} \\
     \end{array}
avec n\in\N^*
  • En \pm \infty \,\! : \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \,\!
  • En 0 \,\! les fonctions ne sont pas définies :
    • Pour n pair : \lim_{x \to 0\atop x \neq 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!
    • Pour n impair :
      • \lim_{x \to 0\atop x < 0} \frac{1}{x^n} = -\infty \,\!
      • \lim_{x \to 0\atop x > 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!

Polynômes[modifier | modifier le code]

Les limites en \pm\infty \,\! d'une fonction polynôme P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,\! avec a_n \neq 0 \,\! sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré a_n x^n \,\!, dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de n \,\! et le signe de a_n \,\!.

Monômes de puissance quelconque[modifier | modifier le code]

Puissances positives :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^\alpha \\
     \end{array}
avec \alpha>0
  • \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty
  • Cas particulier :
    \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, donc \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty

Puissances négatives :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^\alpha \\
     \end{array}
avec \alpha<0
  • \lim_{x \to 0\atop x > 0} x^\alpha  = +\infty
  • \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances[modifier | modifier le code]

Logarithmes[modifier | modifier le code]

Logarithme népérien (ou naturel) :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \ln(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \ln(x) = -\infty
  • \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

Logarithme de base a :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \log_a(x)
     \end{array}
avec a>0
  • Base a > 1 :
    • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = +\infty \,\!
  • Base a < 1 :
    • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = +\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = -\infty \,\!

Exponentielle et puissance d'un réel positif[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & {\rm e}^x
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} {\rm e}^x = 0
  • \lim_{x \to +\infty} {\rm e}^x = +\infty

Fonction exponentielle de base a :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & a^x = {\rm e}^{x\ln a}
     \end{array}
avec a>0
  • Base a > 1 :
    • \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \,\!
  • Base a < 1 :
    • \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \,\!

Fonctions trigonométriques et hyperboliques[modifier | modifier le code]

Fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

Tangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
     \end{array}
Remarque :
\R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi - \cfrac{\pi}{2}; k\pi + \cfrac{\pi}{2} \right[
  • Pour tout entier relatif k \in \Z :
    • \lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x > -\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x < +\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = +\infty \,\!

Cotangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \cot(x) = \cfrac{\cos(x)}{\sin(x)}
     \end{array}
Remarque :
\R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi; (k+1)\pi \right[
  • Pour tout entier relatif k \in \Z :
    • \lim_{x \to k \pi \atop x > k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to (k + 1) \pi \atop x < (k + 1) \pi} \cot(x) = +\infty \,\!

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Sinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{sh}(x) = \cfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}{2}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!

Cosinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{ch}(x) = \cfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{2}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!

Tangente hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{th}(x) = \cfrac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!

Fonctions réciproques[modifier | modifier le code]

Arc tangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Arctan}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!

Argument sinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argsh}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!

Argument cosinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & [1;+\infty[ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argch}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!

Argument tangente hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & ]-1;1[ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argth}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!

Suites usuelles[modifier | modifier le code]

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!

ou alors définie par son premier terme u_0 \in \R \,\! et une relation de récurrence :

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction f \,\! en +\infty \,\! ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite arithmétique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=x+r \,\! et r \in \R \,\! est appelé la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!.

  • Si r>0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si r<0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!

Suites géométriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite géométrique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x \,\! et q \in \R \,\! est encore appelé la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=q^n u_0 \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!
  • Si q=1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite arithmético-géométrique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x + r \,\! (avec q \neq 1 \,\!) et on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n = q^n u_0 + r \frac{q^n-1}{q-1} \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{r}{1-q} \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites homographiques[modifier | modifier le code]

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\! (avec c \neq 0 \,\! et ad-bc \neq 0 \,\!) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de u_n \,\!. Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant \Delta = (a-d)^2 + 4bc \,\! de l'équation\varphi(x) = x \,\!.

  • Si \Delta < 0 \,\! la suite ne peut pas avoir de limite.
  • Si \Delta = 0 \,\! la seule limite \ell \,\! possible est \frac{a-d}{2c} \,\!.
  • Si \Delta > 0 \,\! les seules limites \ell \,\! possibles sont \frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\! ou \frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!.

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial u_0 \,\! la distance |u_n-\ell| \,\! pour chaque valeur éventuelle de \ell \,\!.

Voir aussi[modifier | modifier le code]