Limites de référence

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition $D \,\!$ donc si $a \in D \,\!$, on a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!$.

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \lambda \\ \end{array}$ avec $\lambda\in\R$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!$

Monômes...

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^n \\ \end{array}$ avec $n\in\N^*$

En $+\infty \,\!$ : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \,\!$ En $-\infty \,\!$ : Pour n pair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\,\!$ Pour n impair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\,\!$

...et leurs inverses

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cfrac{1}{x^n} \\ \end{array}$ avec $n\in\N^*$

En $\pm \infty \,\!$ : $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \,\!$ En $0 \,\!$ les fonctions ne sont pas définies : Pour n pair : $\lim_{x \to 0\atop x \neq 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!$ Pour n impair : $\lim_{x \to 0\atop x < 0} \frac{1}{x^n} = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to 0\atop x > 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!$

Polynômes

Les limites en $\pm\infty \,\!$ d'une fonction polynôme $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,\!$ avec $a_n \neq 0 \,\!$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré $a_n x^n \,\!$, dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de $n \,\!$ et le signe de $a_n \,\!$.

Monômes de puissance quelconque

Puissances positives :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^\alpha \\ \end{array}$ avec α > 0

$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty$ Cas particulier : $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, donc $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Puissances négatives :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & x^\alpha \\ \end{array}$ avec α < 0

$\lim_{x \to 0\atop x > 0} x^\alpha = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0$

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

Logarithme népérien (ou naturel) :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \ln(x) \end{array}$

$\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \ln(x) = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Logarithme de base a :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \log_a(x) \end{array}$ avec a > 0

Base a > 1 : $\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = +\infty \,\!$ Base a < 1 : $\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = +\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = -\infty \,\!$

Exponentielle et puissance d'un réel positif

La fonction exponentielle :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & {\rm e}^x \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} {\rm e}^x = 0$ $\lim_{x \to +\infty} {\rm e}^x = +\infty$

Fonction exponentielle de base a :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & a^x = {\rm e}^{x\ln a} \end{array}$ avec a > 0

Base a > 1 : $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \,\!$ Base a < 1 : $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \,\!$

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

Tangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{array}$ Remarque : $\R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi - \cfrac{\pi}{2}; k\pi + \cfrac{\pi}{2} \right[$

Pour tout entier relatif $k \in \Z$ : $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x > -\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x < +\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = +\infty \,\!$

Cotangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cot(x) = \cfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{array}$ Remarque : $\R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi; (k+1)\pi \right[$

Pour tout entier relatif $k \in \Z$ : $\lim_{x \to k \pi \atop x > k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to (k + 1) \pi \atop x < (k + 1) \pi} \cot(x) = +\infty \,\!$

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

Sinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{sh}(x) = \cfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}{2} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!$

Cosinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{ch}(x) = \cfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{2} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$

Tangente hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{th}(x) = \cfrac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!$

Fonctions réciproques

Arc tangente :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Arctan}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!$

Argument sinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argsh}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!$

Argument cosinus hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & [1;+\infty[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argch}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!$

Argument tangente hyperbolique :

$\begin{array}{ccccc} f & : & ]-1;1[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argth}(x) \end{array}$

$\lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!$ $\lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!$

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

$\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!$

ou alors définie par son premier terme $u_0 \in \R \,\!$ et une relation de récurrence :

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!$

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction $f \,\!$ en $+\infty \,\!$ ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir

Article détaillé : suite arithmétique.

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=x+r \,\!$ et $r \in \R \,\!$ est appelé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!$.

• Si $r>0 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

• Si $r<0 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!$

Suites géométriques

• Voir article détaillé: suite géométrique

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=q x \,\!$ et $q \in \R \,\!$ est encore appelé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=q^n u_0 \,\!$.

• Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!$

• Si $q=1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!$

• Si $q>1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

• Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$

Suites arithmético-géométriques

• Voir
  Article détaillé : suite arithmético-géométrique.

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=q x + r \,\!$ (avec $q \neq 1 \,\!$) et on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n = q^n u_0 + r \frac{q^n-1}{q-1} \,\!$.

• Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{r}{1-q} \,\!$

• Si $q>1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!$

• Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$

$\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$

Suites homographiques

$\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!$

Dans ce cas $\varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\!$ (avec $c \neq 0 \,\!$ et $ad-bc \neq 0 \,\!$) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de $u_n \,\!$. Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant $\Delta = (a-d)^2 + 4bc \,\!$ de l'équation$\varphi(x) = x \,\!$.

• Si $\Delta < 0 \,\!$ la suite ne peut pas avoir de limite.

• Si $\Delta = 0 \,\!$ la seule limite $\ell \,\!$ possible est $\frac{a-d}{2c} \,\!$.

• Si $\Delta > 0 \,\!$ les seules limites $\ell \,\!$ possibles sont $\frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$ ou $\frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$.

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial $u_0 \,\!$ la distance $|u_n-\ell| \,\!$ pour chaque valeur éventuelle de $\ell \,\!$.

Voir aussi

• Opérations sur les limites
• Propriétés des limites
• Théorème des croissances comparées