Courant (mathématiques)

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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et en topologie différentielle, un courant selon Georges de Rham est une fonctionnelle sur l'espace des formes différentielles à support compact d'une variété différentielle. En fait, les courants peuvent être vus comme une extension des distributions. Sur le plan géométrique, ils peuvent correspondre à des sous-variétés pouvant présenter des singularités : par exemple la fonction δ de Dirac. Une version généralisée aux courants du théorème de Stokes peut être prouvée.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit \Lambda_c^m(\R^n) la variété différentielle des m-formes à support compact dans Rn. Une application linéaire continue

T\colon \Lambda_c^m(\R^n)\to\R

est appelée un m-courant. Soit \mathcal D_m l'espace des m-courants dans Rn. On définit un opérateur de bord

\partial\colon \mathcal D_{m+1}\to \mathcal D_m

par

\partial T(\omega) := T(d\omega).\,

On peut voir alors que les courants représentent une généralisation des m-surfaces. En effet, si M une variété compacte de dimension m et orientée, on peut lui associer le courant M' défini par

M(\omega)=\int_M \omega.\,

Alors, la définition du bord \partial T d'un courant, est justifiée par le théorème de Stokes :

\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega.\,

L'espace \mathcal D_m des courants à m dimensions est un espace vectoriel réel avec pour opérations :

(T+S)(\omega):= T(\omega)+S(\omega),\qquad (\lambda T)(\omega):=\lambda T(\omega).

La somme de deux courants représente l'union des surfaces correspondantes. La multiplication par un scalaire représentent un changement de la « multiplicité » de la surface. En particulier, la multiplication par −1 représente un changement d'orientation de la surface.

On définit le support du courant T, noté

\mathrm{spt}(T),\,

comme étant le plus petit fermé C tel que

T(\omega) = 0\,

si ω = 0 on C.

On note \mathcal E_m le sous-espace vectoriel de \mathcal D_m des courants à supports compacts.

Topologie[modifier | modifier le code]

L'espace des m-courants possède naturellement une topologie faible-*, comme dual topologique des m-formes différentielles à support compact. Cela permet alors de définir la notion de convergence faible. On dit qu'une suite Tk converge faiblement vers T si

T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\,

Il existe une norme plus forte sur l'espace des courants qui est la mass norm.

Une norme intermédiaire existe aussi, la flat norm.

À noter que deux courants sont proches :

  • en mass norm s'ils diffèrent d'une petite partie ;
  • en flat norm s'ils sont égaux à une petite déformation près.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • On note P_m\, les courants m-dimensionnel.
  • E_m\, est l'ensemble des courants à supports compact.
  • R_m\, désigne les courants rectifiables. C'est-à-dire :
T \in E_m\,, tel que les surfaces associées sont de mesure nulle, en comptant les multiplicités.
  • P_m\, désigne les chaînes polyhédriques intégrales : c'est le sous-groupe additif de E_m\, générés par des simplexes orientés.
  • I_m\, désigne les courants intégraux :
I_m = \{ T \in R_m, \partial T \in R_{m-1} \}
  • F_m\, désigne les integral flat chains (ou chaînes intégrales plates) :
F_m = \{ T + \partial S, T \in R_m, S \in R_{m+1} \}



\left.
\begin{array}{ccccccc}
P_m & \quad \subset \quad & I_m & \quad \subset \quad & R_m & \quad \subset \quad & F_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~int\acute egrales}&&\mathrm{courants~int\acute egraux}&&\text{courants rectifiables} & &\text{integral flat chains}
\\
\cap & & \cap & & \cap & & \cap
\\
\mathbf{P}_m & \quad \subset \quad & N_m & \quad \subset \quad & \mathbf{R}_m & \quad \subset \quad & \mathbf{F}_m
\\
\mathrm{chaines~poly\acute edriques~r\acute eelles} &  & \text{courants normaux} & & \text{courants rectifiables} & &\text{real flat chains}
\\
&  &  & &  & & \cap
\\
&  &  & &  & & E_m \subset D_m
\end{array}
\right.

Exemples[modifier | modifier le code]

On rappelle que

\Lambda_c^0(\R^n)\equiv C^\infty_c(\R^n)\,

donc un exemple de 0-courant est donné par :

T(f) = f(0).\,

En particulier, toute mesure signée régulière \mu est un 0-courant :

T(f) = \int f(x)\, d\mu(x).

Soit (x, y, z) les coordonnées dans R3. Alors, un exemple de 2-courant est :

 T(a\,dx\wedge dy + b\,dy\wedge dz + c\,dx\wedge dz) = \int_0^1 \int_0^1 b(x,y,0)\, dx \, dy.

Bibliographie[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Current (mathematics) » (voir la liste des auteurs)