Mesure régulière

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En théorie de la mesure, une mesure régulière est une mesure sur un espace topologique mesuré qui vérifie deux propriétés qui lient mesure et topologie.

Quelques énoncés qui posent des conditions topologiques assez couramment remplies permettent de garantir la régularité d'une mesure de Borel.

Définition[modifier | modifier le code]

Une mesure (positive) \mu définie sur une tribu contenant la tribu borélienne d'un espace topologique X est dite régulière lorsqu'elle est à la fois intérieurement régulière et extérieurement régulière[1], c'est-à-dire lorsque :

  1. pour tout élément A\subset X de la tribu, \mu(A)=\sup\{\mu(K)\,\mid\, K \hbox{ compact contenu dans } A\} ;
  2. pour tout élément A\subset X de la tribu, \mu(A)=\inf\{\mu(O)\,\mid\, O \hbox{ ouvert contenant } A\}.

Variantes[modifier | modifier le code]

Diverses sources exigent en outre d'une « mesure régulière » d'être une mesure de Borel[2].

Des conditions topologiques qui garantissent la régularité[modifier | modifier le code]

Deux résultats assurent la régularité des mesures sur deux grandes familles d'espaces.

Théorème : sur un espace localement compact séparé dans lequel tout ouvert est σ-compact (en), toute mesure de Borel est régulière[3].

La condition topologique de ce théorème peut paraître assez technique, mais elle est entraînée par des hypothèses plus familières : ainsi peut-on vérifier qu'elle sera remplie par un espace localement compact séparé à base dénombrable[4], et a fortiori par un espace métrique compact[5].

Théorème : sur un espace polonais toute mesure borélienne finie est régulière[6].

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Laurent Schwartz , Analyse : Calcul intégral, t. III, Hermann,‎ 1993 (ISBN 978-2-705-66163-2 et 2-705-66163-8), p. 173
  2. Ainsi (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer,‎ 2007 (ISBN 978-3-540-32696-0), p. 435 ou Serge Lang, Real and Functional Analysis, Berlin, Springer, 2007 (ISBN 3540940014), p. 256-257
  3. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] th. 2-18, p. 48
  4. (en) Heinz Bauer, Measure and integration theory, Walter de Gruyter, coll. « De Gruyter studies in mathematics » (no 26),‎ 2001 (ISBN 978-3-110-16719-1), p. 184
  5. Schwartz, op. cit., p.  186. La preuve donnée par cette source ne repose pas sur le théorème mentionné ici mais sur la régularité extérieure de toute mesure finie sur un espace métrique.
  6. Aliprantis et Border, op. cit., p.  438