Discussion:Application contractante

Appellation

Faut-il qualifier les opérateurs définis dans cette page de contractants ou de strictement contractants ? Il me semble qu'il serait préférable de qualifier de contractants les opérateurs présenter dans la page Application non expansive dont l'appellation vient directement de l'anglais. Il me semble en effet que l'on est ici en présence de la distinction anglo-saxonne entre négatif et non-positif. Brézis (1973) saute le pas et appelle

• contractions les opérateurs présentés dans la page Application non expansive,
• contractions strictes les opérateurs définis dans cette page.

J'aurais tendance à faire le même choix et donc à rebaptiser les pages en conséquence. Jean-Charles.Gilbert (d) 13 juillet 2011 à 22:42 (CEST)

J'hésite ... Il y a en effet un aspect d'uniformité qui n'est pas traduit par l'appellation strictement contractant. En effet, comment alors appeler une application $T$ qui vérifie $\|Tx-Ty\|<\|x-y\|$ pour tout $x$ et $y$ ? Les opérateurs satisfaisant cette dernière condition se rencontrent ils suffisamment souvent pour mériter une appellation ? Jean-Charles.Gilbert (d) 19 juillet 2011 à 09:33 (CEST)

avec x et y distincts, j'espère... Mais en fait (et en pratique), il n'est pas si simple d'exclure ce cas, d'où le choix généralement fait de l'inégalité large. L'autre option, c'est les fonctions lipschitzienness, autrement dit $\|Tx-Ty\|\leq k\|x-y\|$, avec k<1--Dfeldmann (d) 16 septembre 2011 à 21:46 (CEST)

Théorème du point fixe modifié

J'ai donné cette version du théorème car la version avec k<1 et l'utilisation de la série géométrique est parfois pénalisante (et en plus je ne vois pas pourquoi chercher à tout prix à remplacer une série convergente par une série géométrique). Par exemple pour le théorème de Cauchy-lipschitz (voir par exemple Théorème de Cauchy-Lipschitz de wikipaedia, dont je reprends ici les notations) il faut prendre bk<1, alors qu'en fait si on calcule le coefficient de Lipschitz de l'application itérée n fois qui intervient on obtient (bk)^n/n! au lieu de (bk)^n et du coup cela évite la condition bk<1. De ce fait l'intervalle sur lequel la solution existe et est unique est rendu beaucoup plus grand (voir mon cours sur les équations différentielles http://robert.rolland.acrypta.com/telechargements/analyse/equadiff.pdf chapitre 2 page 17 et suivantes). En revanche je ne sais pas comment citer des sources car je n'en connais pas d'autres que ce texte. --Robert.Rolland 13 décembre 2014 à 07:35 (CET)

Mathématiquement, on ne peut qu'être complètement d'accord avec vous. Hélas, je n'ai (bizarrement) pas trouvé non plus de référence. J'ai intercalé un corollaire plus courant avec 5 bonnes réfs, et me suis donc permis d'abréger votre preuve (quasi-doublon de la première) ainsi que l'encadré pour ce qui devient alors une simple remarque. Cordialement, Anne 13/12/14 21h54

Cette nouvelle rédaction est bien. Mais attention, la page sur le Théorème de Cauchy-Lipschitz renvoie, dans la démonstration (masquable) du théorème de Cauchy-Lipschitz global, au "théorème du point fixe modifié" qui apparaissait en sous titre dans la page dont nous parlons ici et qui a disparu. Donc, soit il faudra corriger la page du Théorème de Cauchy-Lipschitz, soit remettre le titre en question. C'est sans doute mieux de renvoyer au corollaire que vous avez ajouté sur la page du Théorème de Cauchy-Lipschitz. Le théorème du point fixe avec l'hypothèse f contractante se trouve dans le texte de Banach de 1922 "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrale", au ch.2 paragraphe 2 Théorème 6).

--Robert.Rolland 14 décembre 2014 à 04:17 (CET)

Fait. Merci ! Anne 14/12/14 8h43