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Théorème de factorisation

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Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation
Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.



Le cas des ensembles

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Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence et la surjection canonique.

Théorème —  Soit une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

.

Alors, il existe une unique application

.

De plus :

  • est injective si et seulement si, réciproquement, (et donc si ) ;
  • est surjective si et seulement si est surjective ;
  • est bijective si est surjective et si .

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/RY, la composée f = gs vérifie x R x'f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupes

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Sur un groupe , on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal de  : si . Alors, la surjection canonique est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit un morphisme de groupes. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe un unique morphisme de groupes tel que . De plus :

  • est surjectif si est surjectif ;
  • est injectif si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjectif et .

Le cas des espaces vectoriels

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On considère un espace vectoriel et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel  : si . Alors, la surjection canonique est linéaire.

Théorème —  Soit une application linéaire. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe une unique application linéaire telle que . De plus :

  • est surjective si est surjective ;
  • est injective si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjective et .

Le cas des anneaux

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On considère un anneau et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère de  : si . Alors, la surjection canonique est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit un morphisme d'anneaux. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe un unique morphisme d'anneaux tel que . De plus :

  • est surjectif si est surjectif ;
  • est injectif si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjectif et .

Le cas des espaces topologiques

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Soit un espace topologique muni d'une relation d'équivalence et la surjection canonique. On munit de la topologie quotient. Soit une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple dans , on a , alors il existe une unique application continue telle que . De plus :

  • est surjective si est surjective ;
  • est injective si on a équivalent à  ;
  • est ouverte (resp. fermée) si est ouverte (resp. fermée) ;
  • est un homéomorphisme si est surjective et ouverte ou fermée, et si .

Références

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Article connexe

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Magma quotient