Représentation projective

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En mathématiques, plus précisémment en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire : .

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le Groupe général linéaire de . On note le centre de  ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur [1] :

  • Un morphisme
  • Une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : .

Représentations linéaires et représentations projectives[modifier | modifier le code]

Une représentation linéaire d'un groupe donne automatiquement une représentation projective en la composant avec le morphisme de projection :

La question qui se présente alors naturellement consiste à déterminer sous quelles conditions il est possible de relever une représentation projective en une représentation lineaire.

En général, il n'existe pas de relèvement d'une représentation projective ρ: G → PGL(V) en une représentation linéaire G → GL(V) et l'obstruction à ce relèvement peut être caractérisée en termes de la cohomologie du groupe, comme il est expliqué plus bas. En revanche, il est toujours possible de relever une représentation projective de G en une représentation linéaire d'une extension centrale de G. En effet, notons que

est une extension centrale de PGL(V) par le groupe des unités k du corps de base. En posant , on obtient un sous-groupe de et la suite exacte courte :

définit une extension centrale de . La restriction à de la seconde projection de est alors une représentation linéaire qui relève .

Obstruction et cohomologie[modifier | modifier le code]

Considérons le diagramme :

.


Étant donnés et tels que , et , on obtient :



Il existe donc tel que . Il s'ensuit que doit satisfaire la condition :


,


ce qui en fait un 2-cocycle ou multiplicateur de Schur. Deux tels cocycles sont en fait cohomologues et définissent donc la même classe dans H2(G, k). La non trivialté de cette classe est l'obstruction au relèvement de la représentation projective :



en une représentation linéaire.

Cette classe n'est pas nécessairement triviale. Par exemple, dans le cas du groupe symétrique et du groupe alterné, Schur a établi qu'il y a exactement une classe non-triviale de multiplicateur de Schur et a complètement déterminé toutes les représentations irréductibles correspondantes.[2]

Lorsque H2(G, k) n'est pas trivial, l'étude des représentations projectives de G conduit ainsi à un problème d'extension de groupes. Pour une extension de G bien choisie, on obtient une représentation linéaire de l'extension, qui induit la représentation projective originale. La solution est toujours une extension centrale. Le lemme de Schur, montre alors que l'étude des représentations projectives irréductibles de G est équivalente à celle des représentations irréductibles des extensions centrales de G .

Représentations projectives des groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Article connexe : Spineur.

L'étude des représentations projectives des groupes de Lie conduit à considérer les représentations linéaires de leurs extensions centrales (voir Extension de groupes). Dans de nombreux cas, il suffit de considérer les représentations de revêtements ; ce qui, pour un groupe de Lie connexe , revient à étudier les représentations de l'algèbre de Lie de . Voici quelques exemples de revêtements donnant lieu à des représentations projectives intéressantes :

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Gannon 2006, p. 176–179.
  2. Schur 1911

Références[modifier | modifier le code]

  • (de) Issaï Schur, « Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 139,‎ , p. 155-250
  • (en) Terry Gannon, Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-83531-2)

Articles connexes[modifier | modifier le code]