D'alembertien

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Le d'alembertien, ou opérateur d'alembertien, est la généralisation du concept du laplacien dans une métrique minkowskienne. Il apparaît en particulier en électromagnétisme pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques ainsi que dans l'équation de Klein-Gordon.

Le d'alembertien[1],[N 1] est ainsi désigné à la suite de Hendrik Lorentz (-)[4]. Son éponyme est Jean Le Rond d'Alembert (-)[2],[5] qui l'a découvert en [6].

Formule[modifier | modifier le code]

Le d'alembertien, en général noté par un carré , s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

, où c est la vitesse de la lumière ou, d'une manière plus générale, la célérité de l'onde (qui peut être acoustique) ; on peut l'écrire en fonction du laplacien par :
.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski ηab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Application[modifier | modifier le code]

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadripotentiel électromagnétique et est, d'une manière plus générale, l'équation qui modélise toute propagation d'une onde acoustique ou électromagnétique :

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La graphie ‹ dalembertien › est usitée[2],[3].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Taillet, Villain et Febvre 2018, p. 184, col. 1.
  2. a et b Pérez 2016, p. 217.
  3. Semay et Silvestre-Brac 2021, p. 232.
  4. Lorentz 1909, no 12, p. 17.
  5. Reuse 2012, p. 308.
  6. Ivanov 1989, p. 5, col. 2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Publications originales[modifier | modifier le code]

  • [Lorentz 1909] (en) Hendrik A. Lorentz, The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat [« La théorie des électrons et ses applications aux phénomènes lumineux et de chaleur rayonnante »], Leipzig, B. G. Teubner, coll. « Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen » (no 29), , 1re éd., [4]-332, 16 × 24 cm (OCLC 490169299, BNF 45879231, SUDOC 020377169, lire en ligne).

Manuels d'enseignement supérieur[modifier | modifier le code]

Dictionnaires et encyclopédies[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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