Opérateur différentiel

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Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

  • Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  • Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Notations[modifier | modifier le code]

Soit un ouvert de , et un point de . On introduit les coordonnées . Supposons que l'on ait une fonction des variables : .

Dérivées du premier ordre[modifier | modifier le code]

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée par le symbole :

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel du premier ordre défini par :

Dans cette définition, est la « racine de l'unité » complexe : . L'intérêt de définir cet opérateur apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice est un -uplet d'entiers

Sa longueur est définie comme la somme des et on définit enfin la multi-factorielle :

Dérivées d'ordres plus élevés[modifier | modifier le code]

  • La dérivée partielle d'ordre par rapport à la coordonnée correspond au symbole :
  • On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global  :
  • Et les opérateurs différentiels , d'ordre global  :

Définition d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre est défini par :

où les sont des fonctions de variables, appelées coefficients de l'opérateur .

Propriété de localité[modifier | modifier le code]

Un opérateur différentiel est local au sens où, pour déterminer ses effets sur une fonction suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point est nécessaire.

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Introduction de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction de variables par :

Dans cette définition :

  • on note le -uplet constitué des variables : .
  • la mesure est : .
  • le facteur dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

où la mesure est : avec .

Application aux opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Appliquons l'opérateur différentiel à la représentation de Fourier de la fonction . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

qu'on peut écrire : . On en déduit que :

où : . L'opérateur différentiel d'ordre vérifie donc la relation :

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

Symbole d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

On appelle symbole de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction des variables polynomiale en de degré  :

de telle sorte que :

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients ne sont pas constants, le symbole dépend des coordonnées d'espace , et l'expression n'est pas la transformée de Fourier de , c’est-à-dire que :

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction  :

Classification des opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Opérateur elliptique[modifier | modifier le code]

L'opérateur différentiel est dit elliptique au point si et seulement si :

est dit elliptique dans s'il est elliptique pour tout point .

Opérateur hyperbolique[modifier | modifier le code]

L'opérateur différentiel est dit hyperbolique dans la direction au point si et seulement si : et si, pout tout non colinéaire à , les racines de l'équation :

sont toutes réelles. Si, de plus, les racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur est dit strictement hyperbolique dans la direction .

est dit (strictement) hyperbolique dans la direction dans s'il est strictement hyperbolique dans la direction pour tout point .

Exemples importants pour la physique théorique[modifier | modifier le code]

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien[modifier | modifier le code]

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

  • en coordonnées cartésiennes dans  :
  • soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien[modifier | modifier le code]

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes dans  :

est le laplacien à variables d'espace, est le temps, et une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur[modifier | modifier le code]

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes dans  :

est le laplacien à variables d'espace, est le temps, et est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Article connexe : équation de la chaleur.

Opérateur différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Si les coefficients sont indépendants des variables d'espace , le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est seulement une fonction des variables polynomiale en  :

de telle sorte que :

Le symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre à coefficients constants est la fonction des variables  :

Cas général[modifier | modifier le code]

On a vu que plus haut :

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients ne sont pas constants, le symbole dépend des coordonnées d'espace , et on a  :

Expression de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Partons de la relation générale :

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

on obtient :

soit :

A fixé, on fait le changement de variable : , ce qui donne :

On reconnait le produit de convolution :

d'où :

qu'on peut réécrire :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.