Opérateur bilaplacien

L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes $x_{1},x_{2},...x_{n}$, le bilaplacien s'écrit

$\Delta ^{2}=\nabla ^{4}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{4}}{\partial x_{i}^{2}\partial x_{j}^{2}}}$.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension $n$, la relation suivante est toujours vérifiée :

$\Delta ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {3(15-8n+n^{2})}{r^{5}}}={\frac {3(n-3)(n-5)}{r^{5}}}$

avec $r$ la distance euclidienne :

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$.

Ainsi, la fonction $r\mapsto {\frac {1}{r}}$ est biharmonique si et seulement si $n=3$ ou $n=5$.

En coordonnées cartésiennes

L'opérateur bilaplacien en trois dimensions $(x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)$ s'exprime sous la forme $$\Delta ^{2}f={\partial ^{4}f \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}f \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}f \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}f \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}f \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}f \over \partial x^{2}\partial z^{2}}.$$

En coordonnées polaires

L'opérateur bilaplacien en polaire en deux dimensions $(x_{1},x_{2})=(r,\theta )$ s'exprime sous la forme $$\Delta ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}$$

Voir aussi

• Opérateur laplacien
• Équation biharmonique
• Fonction harmonique

Référence

• (en) Eric W. Weisstein, « Biharmonic Operator », sur MathWorld