Lemme de Gauss (théorie des nombres)

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Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique[1],[2] et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi[3].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient p un nombre premier impair et un entier non divisible par p.

On considère les entiers

et leurs plus petits résidus positifs modulo .

Parmi ces (p – 1)/2 entiers distincts compris entre 1 et p – 1, soit n le nombre de ceux qui sont plus grands que p/2. Alors

,

est le symbole de Legendre.

Application[modifier | modifier le code]

La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss[4]. En effet, pour , est le nombre d'entiers tels que . Il est donc égal à , c'est-à-dire à l'entier tel que , si bien que .

Preuve[modifier | modifier le code]

Une preuve assez simple de ce lemme[5] utilise le même principe que l'une des démonstrations du petit théorème de Fermat, en évaluant mod le produit

.

Pour tout entier , définissons l'entier par : et . Ainsi,

.

Or les entiers , pour , sont non nuls et distincts. En effet, si pour un , alors , d'où (comme est inversible mod ) , donc (car et ).

Cette suite est donc une permutation des entiers , et l'on obtient :

ou encore (en simplifiant par le facteur inversible mod ) :

.

Ceci est le résultat souhaité car d'après le critère d'Euler, le membre de gauche n'est qu'une réécriture modulo du symbole de Legendre .

Autre preuve, par la théorie du transfert[modifier | modifier le code]

De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à amm désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Gauss lemma » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Gauss's lemma (number theory) » (voir la liste des auteurs).

  1. (la) C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808.
  2. (la) C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818.
  3. (en) Franz Lemmermeyer (de), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Springer, (ISBN 978-3-540-66957-9), chap. 1.
  4. (en) Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 28-29.
  5. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (ISBN 978-0-387-90163-3, lire en ligne), p. 182-183.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lemme de Zolotarev