Symbole de Jacobi

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Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Charles Gustave Jacob Jacobi[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre du dessous. Sa définition est la suivante :

Soit n un entier impair supérieur à 2 et n = la décomposition de n en facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, le symbole de Jacobi vaut :

Propriétés du symbole de Jacobi[modifier | modifier le code]

  • Si n est premier, le symbole de Jacobi et le symbole de Legendre sont égaux.
  • si et seulement si a et n ne sont pas premiers entre eux.
  • si n est impair.
  • Si ab (mod n) alors si n est impair.
  • vaut 1 si n ≡ 1 (mod 4) et −1 si n ≡ 3 (mod 4)
  • vaut 1 si n ≡ 1 (mod 8) ou n ≡ 7 (mod 8) et −1 si n ≡ 3 (mod 8) ou n ≡ 5 (mod 8)
  • si m et n sont impairs, autrement dit sauf si m et n sont tous deux congrus à –1 (mod 4) auquel cas
    La dernière propriété est une généralisation de la loi de réciprocité quadratique utilisant le symbole de Legendre.

Résidus[modifier | modifier le code]

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi. Cependant, si alors a n'est pas un résidu quadratique de n puisque a n'est pas le résidu quadratique d'un des pk divisant n.

Dans le cas où , il est impossible de dire si a est un résidu quadratique de n. Puisque le symbole de Jacobi est un produit de symboles de Legendre, il y a des cas où deux symboles de Legendre sont égaux à −1 et le symbole de Jacobi est égal à 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136.