Symbole de Jacobi

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Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi[1]. C'est une généralisation du symbole de Legendre.

Définition[modifier | modifier le code]

Le symbole de Jacobi est défini pour tout entier relatif et tout entier naturel impair comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de  : pour tout et tous nombres premiers impairs (non nécessairement distincts),

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient positifs impairs et entiers quelconques. Alors[2] :

  •  ;
  • si est premier, le symbole de Jacobi est simplement le symbole de Legendre ;
  • si et ne sont pas premiers entre eux,  ;
  • si et sont premiers entre eux,  ;
  •  ;
  •  ;
  • si ab (mod n) alors  ;
  • généralisation de la loi de réciprocité quadratique :
    • théorème fondamental : ,
    • première loi complémentaire :,
    • deuxième loi complémentaire :.
Cette généralisation se déduit du cas particulier où et sont premiers[2], en remarquant que si les sont impairs, et .

Résidus[modifier | modifier le code]

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi. Cependant, si alors a n'est pas un résidu quadratique de n puisque a n'est pas le résidu quadratique d'un des pk divisant n.

Dans le cas où , il est impossible de dire si a est un résidu quadratique de n. Puisque le symbole de Jacobi est un produit de symboles de Legendre, il y a des cas où deux symboles de Legendre sont égaux à −1 et le symbole de Jacobi est égal à 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) C. G. J. Jacobi, « Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie », Bericht Ak. Wiss. Berlin,‎ , p. 127-136.
  2. a et b (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (lire en ligne), p. 188-190.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Symbole de Kronecker (arithmétique) (en)