Réciprocité cubique

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En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

Notations[modifier | modifier le code]

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

a et b sont des entiers relatifs et

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si π est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et α un élément premier avec π, on définit le symbole résidu cubique comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ω) satisfaisant

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour des nombres premiers primaires non associés π et θ, la loi de réciprocité cubique est :

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier 1 – ω de norme 3 qui, pour π = 1 + 3(m + nω), sont :


Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]